6.2. Краткие теоретические сведения.

Тема 1. Множества. Числовые множества. Функция.

Под множеством понимают некоторую совокупность объектов любой природы, различимых между собой и мыслимую как единое целое. Объекты, составляющие множество называют его элементами. Множество может быть бесконечным (состоит из бесконечного числа элементов), конечным (состоит из конечного числа элементов), пустым (не содержит ни одного элемента). Множества обозначают: , а их элементы:. Пустое множество обозначают.

Множество называютподмножеством множества , если все элементы множествапринадлежат множествуи пишут. Множестваиназываютравными, если они состоят из одних и тех же элементов и пишут . Два множестваибудут равны тогда и только тогда, когдаи.

Множество называютуниверсальным (в рамках данной математической теории), если его элементами являются все объекты, рассматриваемые в данной теории.

Множество можно задать: 1) перечислением всех его элементов, например: (только для конечных множеств);2) заданием правила определения принадлежности элементауниверсального множества, данному множеству:.

Объединением множеств иназывается множество

.

Пересечением множеств иназывается множество

.

Разностью множеств иназывается множество

.

Дополнением множества (до универсального множества) называется множество.

Два множества иназываютсяэквивалентными и пишут ~, если между элементами этих множеств может быть установлено взаимно однозначное соответствие. Множествоназываетсясчётным, если оно эквивалентно множеству натуральных чисел :~. Пустое множество по определению относится к счётным.

Понятие мощности множества возникает при сравнении множеств по числу содержащихся в них элементов. Мощность множестваобозначают. Мощностью конечного множества является число его элементов.

Эквивалентные множества обладают равной мощностью. Множество называетсянесчётным, если его мощность больше мощности множества .

Действительным (вещественным) числом называется бесконечная десятичная дробь, взятая со знаком «+» или «». Действительные числа отождествляют с точками числовой прямой.Модулем (абсолютной величиной) действительного числа называется неотрицательное число:

Множество называетсячисловым, если его элементами являются действительные числа.Числовымипромежутками называются множества чисел:,,,,,,,,.

Множество всех точек на числовой прямой, удовлетворяющих условию, где- сколь угодно малое число, называется -окрестностью (или просто окрестностью) точки и обозначается. Множество всех точекусловием, где- сколь угодно большое число, называется-окрестностью (или просто окрестностью) бесконечности и обозначается .

Величина, сохраняющая одно и тоже числовое значение, называется постоянной. Величина, принимающая различные числовые значения, называется переменной. Функцией называется правило, по которому каждому числуставится в соответствие одно вполне определённое число, и пишут. Множествоназываетсяобластью определения функции, -множеством (или областью) значений функции, -аргументом, -значением функции. Наиболее распространённым способом задания функции является аналитический способ, при котором функция задаётся формулой. Естественной областью определения функции называется множествозначений аргумента, для которого данная формула имеет смысл.Графиком функции ,в прямоугольной системе координат, называется множество всех точек плоскости с координатами,.

Функция называетсячётной на множестве , симметричном относительно точки, если для всехвыполняется условие:инечётной, если выполняется условие . В противном случае- функция общего вида илини чётная, ни нечётная.

Функция называетсяпериодической на множестве , если существует число(период функции), такое, что для всех выполняется условие:. Наименьшее числоназывается основным периодом.

Функция называетсямонотонно возрастающей (убывающей) на множестве , если большему значению аргументасоответствует большее (меньшее) значение функции.

Функция называетсяограниченной на множестве , если существует число, такое, что для всехвыполняется условие:. В противном случае функция -неограниченная.

Обратной к функции , , называется такая функция , которая определена на множествеи каждому

ставит в соответствие такое , что. Для нахождения функции, обратной к функции ,нужно решить уравнение относительно . Если функция , является строго монотонной на, то она всегда имеет обратную, при этом, если функция возрастает (убывает), то обратная функция также возрастает (убывает).

Функция , представляемая в виде, где,- некоторые функции такие, что область определения функциисодержит всё множество значений функции, называетсясложной функцией независимого аргумента . Переменнуюназывают при этом промежуточным аргументом. Сложную функциюназывают также композицией функцийи, и пишут:.

Основными элементарными функциями считаются: степенная функция ,показательная функция (,),логарифмическая функция (,),тригонометрические функции ,,,,обратные тригонометрические функции ,,,.Элементарной называется функция, полученная из основных элементарных функций конечным числом их арифметических операций и композиций.

Если задан график функции,, то построение графика функциисводится к ряду преобразований (сдвиг, сжатие или растяжение, отображение) графика:

1) преобразование симметрично отображает график, относительно оси;2) преобразование симметрично отображает график, относительно оси;3) преобразование сдвигает графикпо осинаединиц (- вправо,- влево);4) преобразование сдвигает графикпо осинаединиц (- вверх,- вниз);5) преобразование графиквдоль осирастягивает враз, еслиили сжимает враз, если;6) преобразование графиквдоль осисжимает враз, еслиили растягивает враз, если.

Последовательность преобразований при построении графика функции можно представить символически в виде:

.

Примечание. При выполнении преобразования следует иметь в виду, что величина сдвига вдоль осиопределяется той константой, которая прибавляется непосредственно к аргументу, а не к аргументу.

Графиком функции является парабола с вершиной в точке, ветви которой направлены вверх, еслиили вниз, если. Графиком дробно-линейной функцииявляется гипербола с центром в точке, асимптоты которой проходят через центр, параллельно осям координат.

В некоторых случаях при построении графика функции целесообразно разбить её область определения на несколько непересекающихся промежутков и последовательно строить график на каждом из них. Например, при построении графика функции, в аналитическое выражение которой входит функция , следует выделить и рассмотреть отдельно промежутки, на которых выражение под знаком модуля не меняет знак.

График функции можно построить, предварительно построив графики функцийи, а затем сложив их ординаты при одинаковых значениях.