Тема 7. Основные теоремы о дифференцируемых функциях и их приложения.

Теорема Роля. Если функция непрерывна на отрезке, дифференцируема на интервалеи, то насуществует точкатакая, что.

Теорема Лагранжа. Если функция непрерывна на отрезкеи дифференцируема на интервале, то насуществует точкатакая, что(формула Лагранжа).

Теорема Коши. Если функции инепрерывны на отрезке, дифференцируемы на интервалеипри всех, то на интервалесуществует точкатакая, что

(формула Коши).

Если функция дифференцируемараз в точке, то приимеет местоформула Тейлора (порядка ) с остаточным членом в форме Пеано

.

Если предположить существование -ой производнойв окрестности точкито для любой точкииз этой окрестности имеет местоформула Тейлора (порядка ) с остаточным членом в форме Лагранжа

где ,.

Формула Тейлора (с остаточным членом в любой форме) в частном случае обычно называетсяформулой Маклорена.

Формула Тейлора используется при вычислении значений функции с заданной степенью точности , при вычислении пределов функций.

Из формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа следует, что , где-минимальный из номеровдля которых.

При вычислении пределов функций используют формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

Правило Лопиталя. Предел отношения двух дифференцируемых или бесконечно малых или бесконечно больших функций при (- числоили символ) равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном смысле:. Правило Лопиталя используют для раскрытия неопределённостей видови.

На каждом этапе применения правила Лопиталя следует пользоваться упрощающими отношение тождественными преобразованиями, а также комбинировать это правило с любыми другими приёмами вычисления пределов. В некоторых случаях может потребоваться неоднократное применение данного правила.

Раскрытие неопределённостей видов ,,,,путём преобразований:

, ,

приводится к раскрытию неопределенностей видов и.

Тема 8. Исследование функций с помощью производных, построение их графиков.

7.1 Возрастание, убывание функций. Экстремум.

Функция называетсявозрастающей (убывающей) на интервале , если для любых, удовлетворяющих условию, выполняется неравенство().

Если функция дифференцируема на интервалеи() при всех, то функциявозрастает (убывает) на.

Точка , принадлежащая области определенияфункции, называетсякритической точкой функции, если в этой точке илине существует. Критические точки функцииразбивают её область определенияна интервалы монотонности (интервалы возрастания и убывания).

Точка называетсяточкой минимума (максимума) функции , если существует окрестность точкитакая, что для всех точекэтой окрестности выполняется неравенство(), а число-минимумом (максимумом) функции. Точки минимума и максимума функции называются точками экстремума, а значения функции в этих точках – экстремумами функции.

Необходимое условие экстремума. Если - точка экстремума функции, тоилине существует.

Первое достаточное условие экстремума. Пусть функция дифференцируема в окрестности точки, в которойилине существует. Тогда, если производная, при переходе слева направо через точку:1) меняет знак с «+» на «», то- точка максимума;2) меняет знак с знак с «» на «+», то- точка минимума;3) сохраняет знак, то не является точкой экстремума.

Второе достаточное условие экстремума. Пусть функция дважды дифференцируема в точке, в которой,. Тогда:1) если , то- точка максимума;2) если , то- точка минимума.