- •Федеральное агентство по образованию
- •2. Содержание и структура дисциплины (часть 1).
- •Тема 7. Основные теоремы о дифференцируемых функциях и их приложения.
- •Тема 8. Исследование функций с помощью производных, построение их графиков.
- •Раздел III. Функции нескольких переменных.
- •Тема 9. Основные понятия о функции нескольких переменных.
- •Тема 10. Производные и дифференциалы функции нескольких переменных, их приложения.
- •Тема 11. Векторный анализ и элементы теории поля.
- •Дополнительная литература:
- •4. Методические указания по изучению дисциплины.
- •5. Материалы для контроля знаний студентов.
- •91. ,,.
- •Раздел II.Дифференциальное исчисление функции одной переменной.
- •Раздел III. Функции нескольких переменных.
- •6. Приложения.
- •6.1. Образец решения контрольных задач типового варианта.
- •Часть 1.
- •А); б) ; в) .
- •6.2. Краткие теоретические сведения.
- •Тема 1. Множества. Числовые множества. Функция.
- •Тема 2. Комплексные числа и многочлены.
- •Тема 3. Предел функции. Эквивалентные функции.
- •Тема 4. Числовые последовательности. Предел последовательности.
- •Тема 5. Непрерывность функции.
- •Тема 6. Производные и дифференциалы функции одной переменной.
- •Тема 7. Основные теоремы о дифференцируемых функциях и их приложения.
- •Тема 8. Исследование функций с помощью производных, построение их графиков.
- •7.1 Возрастание, убывание функций. Экстремум.
- •7.2 Наибольшее и наименьшее значения функции.
- •7. 3 Выпуклость, вогнутость, точки перегиба. Асимптоты.
- •7.4 Построение графиков функций.
- •Тема 9. Основные понятия о функции нескольких переменных.
- •Тема 10. Производные и дифференциалы функции нескольких переменных, их приложения.
- •Тема 11. Векторный анализ и элементы теории поля.
- •Тема 12. Неявные и выпуклые функции.
- •Тема 13. Экстремумы функций нескольких переменных.
- •Тема 14. Приложения к общей экономической теории.
- •6.3 Основные математические формулы.
- •С о д е р ж а н и е
Тема 3. Предел функции. Эквивалентные функции.
Число называетсяпределом функции при (или в точке ), и пишут, если для любого числанайдётся числотакое, что при всех, удовлетворяющих условию, выполняется неравенство.
Число называетсяпределом функции при , и пишут , если для любого числанайдётся числотакое, что при всех, удовлетворяющих условию, выполняется неравенство.
Рассматривают также односторонние пределы функций: ,,,, гдестремится к,,или только с левой стороны или только с правой стороны.
Основные утверждения, используемые для вычисления пределов функций при (в дальнейшем- или числоили символ):
1) Если - постоянная величина, то.
2) Если существуют конечные пределы ,, то:
а) ;б) ;
в) ;г) , если.
При вычислении пределов постоянно пользуются и тем, что для любой основной элементарной функции и точкииз её области определения справедливо соотношение.
Функция называетсябесконечно большой при , если. Функцияназываетсябесконечно малой при , если.
Основные утверждения для бесконечно больших функций, используемые для вычисления пределов при :
1) Если, то,если, то
2) Если и, то.
3) Если и, то.
4) Если и, то.
5) Если и, то.
6) Если и, то.
Если непосредственное применение свойств конечных пределов и бесконечно больших функций приводит к неопределённым выражениям, символически обозначаемым: , то для вычисления предела – «раскрытия неопределённости» - преобразовывают выражение так, чтобы получить возможность его вычислить.
Первым замечательным пределом называется предел: . Следствиями из него являются пределы:
, ,
Вторым замечательным пределом называются пределы:
,
где -основание натуральных логарифмов (число Непера). Он используется для вычисления предела степенно-показательной функции, гдеи.
При нахождении пределов следует иметь в виду:
1) Если ,, то.
2) Если ,, товычисляют, учитывая, что:,.
Бесконечно малые функции иприназываютсяэквивалентными, и пишут ~, если.
Принцип замены эквивалентных бесконечно малых функций, состоит в том, что при вычислении предела частного или произведенияодну из функций (или обе) в этих выражениях можно заменить эквивалентной функцией. Так, если~,~при, то:
;
Основные эквивалентности при | |||
~ |
~ |
~ |
~ |
~ |
~ |
~ |
~ |
~ |
~ |
~ |
Тема 4. Числовые последовательности. Предел последовательности.
Если каждому натуральному числу по некоторому правилупоставлено в соответствие одно вполне определённое действительное число, то говорят, что заданачисловая последовательность . Кратко обозначают. Числоназывается общим членом последовательности. Последовательность называют также функцией натурального аргумента. Последовательность всегда содержит бесконечно много элементов, среди которых могут быть равные.
Число называетсяпределом последовательности , и пишут, если для любого числанайдётся номертакой, что при всехвыполняется неравенство.
Последовательность , имеющая конечный предел, называетсясходящейся, в противном случае – расходящейся.
Последовательность называется:1) убывающей, если ;2) возрастающей, если ;3) неубывающей, если ;4) невозрастающей, если . Все вышеперечисленные последовательности называютсямонотонными.
Последовательность называетсяограниченной, если существует число такое, что для всехвыполняется условие:. В противном случае последовательность -неограниченная.
Теорема Вейерштрасса. Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.
Последовательность называетсябесконечно малой, если . Последовательностьназываетсябесконечно большой (сходящейся к бесконечности) и пишут , если для любого числанайдётся номертакой, что при всехвыполняется неравенство.
Числомназывается предел последовательности, где
Постоянную называют неперовым числом. Логарифм числапо основаниюназывается натуральным логарифмом числаи обозначается.