6. Приложения.

6.1. Образец решения контрольных задач типового варианта.

Часть 1.

1-10. Требуется:

а) найти естественную область определения функции ;

б) установить чётность (нечётность) функции .

Решение. а) Естественную область определения находим как множество всех значений аргументафункции, для которых формулаимеет смысл:. Решив (на числовой прямой) систему неравенств, устанавливаем, что геометрическим образом множестваявляется промежуток.

б) Находим сначала естественную область определения функции :. Решив (на числовой прямой) неравенство , устанавливаем, что геометрическим образом множестваявляется объединение промежутков.

Так как область является симметричной относительно точки, то проверяем выполнение для всехусловий:или, учитывая чётность и нечётность основных элементарных функций, входящих в аналитическое выражение.

Если область не симметрична относительно точки, тона этом множестве является функцией общего вида.

Для этого находим . Посколькудля всех, то функция является чётной.

Ответ: а) ,;

б) функция - чётная.

11-21. Вычислить пределы (не пользуясь правилом Лопиталя):

а) б) в) г)д)

Вычисление предела , где, начинают всегда с подстановки впредельного значения её аргумента. В результате могут получиться неопределённости,,, которые раскрывают тождественными преобразованиямитакими, чтобы преобразованное выражение получилось определённым. При вычислении пределов используют свойства конечных пределов и бесконечно больших функций, а также следующие известные пределы:,, (),,,,,.

Решение. а) При подстановке вместо переменной её предельного значенияполучим неопределённость. Для её раскрытия сначала разделим числитель и знаменатель дроби на(старшую степень переменнойв числителе и знаменателе), после чего используем свойства конечных пределов и бесконечно больших функций. Получим

.

б) При подстановке вместо переменной её предельного значенияполучим неопределённость. Для её раскрытия выделим в числителе и знаменателе дроби общий множитель вида, где- некоторое число, т.е. множитель. Затем сократим на него числитель и знаменатель дроби, после чего используем свойства пределов.

1) В квадратном трёхчлене множитель выделяют разложением квадратного трёхчлена по формуле, где.2) В выражении множитель выделяют следующим способом:

.

В результате получим

.

в) При подстановке вместо переменной её предельного значенияполучим неопределённость. Выделим в числителе множители вида, гдеприи используем свойства пределов. Получим

Для раскрытия неопределённостей , содержащих тригонометрические и обратные тригонометрические функции, в числителе и знаменателе дроби выделяют сначала множители вида:,,,, гдепри, используя формулы тригонометрии: , , . После чего применяют свойства пределов, учитывая, что: ,,,.

.

г) При подстановке вместо переменной её предельного значенияполучим неопределённость.

Для раскрытия неопределённости , возникающей при вычислении предела, где,, сначала выражение представляют в виде, гдепри. После чего используют свойства пределов, заменяя выражениеего предельным значениеми учитывая, что=.

Представим в виде, гдепри ,следующим способом:

=. Тогда учитывая, что,, получим ==.

д)

Для вычисления предела , гдепредставляет собой дробь, числитель и знаменатель которой содержат факториалы натурального числа, поступают следующим образом. Выделяют в числителе и знаменателе в качестве общего множителя факториал меньшего натурального числа и сокращают на него. В результате получают выражение, предел которого находят рассмотренными выше способами.

Для вычисления данного предела сначала выразим ,,через:,,, после чего сократим числитель и знаменатель на:

.

В результате получили неопределённость . Для её раскрытия разделим числитель и знаменатель дробина (старшую степень переменнойчислителя и знаменателя), после чего используем свойства пределов. Получим

.

Ответ: а); б);в); г); д).

21-30. Для указанной функции требуется: а) выяснить при каких значениях параметра функция будет непрерывной; б) найти точки разрыва функции и исследовать их характер. Построить график функции.

а) ; б).

Решение.

Точками разрыва функции являются точки разрыва функцийв промежутках,,…,, кроме того, точками возможного разрыва функцииявляются точкив окрестности которых и в самих точках функция задаётся разными аналитическими выражениями.

Точка является точкой непрерывности функциитогда и только тогда, когда:.

а) Поскольку функции инепрерывны в промежуткахикак элементарные функции, определённые в каждой точке данных промежутков, то непрерывность функции может нарушиться только в точке её возможного разрыва .

Определяем значение параметра из условия непрерывности функциив точке: .Вычисляя ,,:,,, из условия непрерывности, находим.

График непрерывной функции имеет вид изображённый на рис. 1.

б) Функции инепрерывны в промежуткахикак элементарные функции, определённые в каждой точке данных промежутков, а функцияв промежуткеимеет точкой разрыва точку, в которой она не определена. Тогда для функции точка является точкой разрыва, а точкии, в окрестности которых и в самих точках функция задаётся разными аналитическими выражениями, являются точками возможного разрыва.

Исследуем на непрерывность точки :

1)

.

Следовательно, точка - точка разрыва 1-го рода функции.

2)

Следовательно, точка - точка бесконечного разрыва (2-го рода) функции.

3)

.

Следовательно, точка - точка непрерывности функции.

График функции имеет вид, изображённый на рис.2.

Ответ: а) Функция непрерывна при(рис.1);б) - точка разрыва 1-го рода, -точка бесконечного разрыва функции (рис.2).

Рис.1 Рис.2

31-40. Найти производную :

а) ; б); в).

Нахождение производной функциизаданной явно, с помощью правил дифференцирования:

(),,,,,,,сводят к нахождению табличных производных.

Производную функциизаданной параметрическими уравненияминаходят в параметрическом виде по формуле.

Решение.

а) , где

=;

Тогда .

б) ,где

.

.

Тогда

.

в) Производную функции , заданной параметрическими уравнениями находим по формуле ,где

;

.

Тогда .

41-50. Вычислить пределы, используя правило Лопиталя.