- •Федеральное агентство по образованию
- •2. Содержание и структура дисциплины (часть 1).
- •Тема 7. Основные теоремы о дифференцируемых функциях и их приложения.
- •Тема 8. Исследование функций с помощью производных, построение их графиков.
- •Раздел III. Функции нескольких переменных.
- •Тема 9. Основные понятия о функции нескольких переменных.
- •Тема 10. Производные и дифференциалы функции нескольких переменных, их приложения.
- •Тема 11. Векторный анализ и элементы теории поля.
- •Дополнительная литература:
- •4. Методические указания по изучению дисциплины.
- •5. Материалы для контроля знаний студентов.
- •91. ,,.
- •Раздел II.Дифференциальное исчисление функции одной переменной.
- •Раздел III. Функции нескольких переменных.
- •6. Приложения.
- •6.1. Образец решения контрольных задач типового варианта.
- •Часть 1.
- •А); б) ; в) .
- •6.2. Краткие теоретические сведения.
- •Тема 1. Множества. Числовые множества. Функция.
- •Тема 2. Комплексные числа и многочлены.
- •Тема 3. Предел функции. Эквивалентные функции.
- •Тема 4. Числовые последовательности. Предел последовательности.
- •Тема 5. Непрерывность функции.
- •Тема 6. Производные и дифференциалы функции одной переменной.
- •Тема 7. Основные теоремы о дифференцируемых функциях и их приложения.
- •Тема 8. Исследование функций с помощью производных, построение их графиков.
- •7.1 Возрастание, убывание функций. Экстремум.
- •7.2 Наибольшее и наименьшее значения функции.
- •7. 3 Выпуклость, вогнутость, точки перегиба. Асимптоты.
- •7.4 Построение графиков функций.
- •Тема 9. Основные понятия о функции нескольких переменных.
- •Тема 10. Производные и дифференциалы функции нескольких переменных, их приложения.
- •Тема 11. Векторный анализ и элементы теории поля.
- •Тема 12. Неявные и выпуклые функции.
- •Тема 13. Экстремумы функций нескольких переменных.
- •Тема 14. Приложения к общей экономической теории.
- •6.3 Основные математические формулы.
- •С о д е р ж а н и е
Тема 2. Комплексные числа и многочлены.
Комплексным числом называется число вида , где,-действительные числа, символ- мнимая единица, для которой. Число- называется действительной частью комплексного числа, число- мнимой частью. Комплексное числосовпадает с действительным, а числоназывается чисто мнимым. Множество всех комплексных чисел обозначается.
Комплексное число изображается на плоскости с системой координат(называемой комплексной плоскостью) точкой, обозначаемой той же буквойи имеющей координаты. Действительные числа изображаются точками оси абсцисс, а чисто мнимые – оси ординат (поэтому осьназывается действительной осью, а ось- мнимой осью). Комплексное число на комплексной плоскости изображается также радиус-вектором точки. Длина радиус-вектора называетсямодулем комплексного числа: , а угол егос осьюназываетсяаргументом комплексного числа: ,. Аргумент комплексного числа вычисляют, как правило, по формуле:.
Комплексно-сопряжённым числу называется число.
Представление комплексного числа выражением называется алгебраической формой комплексного числа, а выражением -тригонометрической формой комплексного числа.
Арифметические действия (сложение, вычитание, умножение) над комплексными числами в алгебраической форме выполняют по правилам действий над многочленами, с учётом того, что :
;
.
Деление комплексных чисел выполняют следующим образом: .
Возведение комплексного числа в натуральную степеньвыполняют, используяформулу Муавра: .Полученный результат представляют затем в алгебраической форме.
Извлечение корня -ой степени из комплексного числа(не равного нулю) выполняют по формуле:
,
(здесь - действительное положительное число). Таким образом, корень степенииз комплексного числа имеетразличных значений, расположенных на комплексной плоскости на окружности радиуса.
Алгебраическим многочленом степени называется выражение вида:
,
где ,- некоторые числа (вообще говоря, комплексные), называемые коэффициентами многочлена, причём.
Алгебраическим уравнением степени называется уравнение вида Число, для которогоназываетсякорнем многочлена или уравнения.
Теорема Безу. Число является корнем многочленатогда и только тогда, когдаделится на, т.е. когдапредставляется в виде:, где- многочлен степени.
Число называетсякорнем кратности многочлена , если, где.
Для многочленов имеет место следующая теорема:
Теорема Гаусса (основная теорема алгебры). Всякий многочлен ненулевой степени имеет ровнокорней, если каждый корень считать ровно столько раз, какова его кратность .
Всякий многочлен с действительными коэффициентами всегда можно разложить в произведение линейных и квадратичных множителей с действительными коэффициентами.
Всякий квадратный многочлен с действительными коэффициентами на множестве комплексных чисел всегда можно разложить в произведение линейных множителей:, где корни многочленаинаходятся по формулам:
1) если , то- действительные;
2) если , то- комплексно-сопряжённые.
Для нахождения корней алгебраического уравнения с действительными коэффициентами поступают, как правило, следующим образом: находят один из корней подбором (например, корнем может быть целый делитель свободного слагаемого), а затем, последовательно применяя теорему Безу, сводят нахождение корней уравненияк нахождению корней линейных и квадратных уравнений.