- •Федеральное агентство по образованию
- •2. Содержание и структура дисциплины (часть 1).
- •Тема 7. Основные теоремы о дифференцируемых функциях и их приложения.
- •Тема 8. Исследование функций с помощью производных, построение их графиков.
- •Раздел III. Функции нескольких переменных.
- •Тема 9. Основные понятия о функции нескольких переменных.
- •Тема 10. Производные и дифференциалы функции нескольких переменных, их приложения.
- •Тема 11. Векторный анализ и элементы теории поля.
- •Дополнительная литература:
- •4. Методические указания по изучению дисциплины.
- •5. Материалы для контроля знаний студентов.
- •91. ,,.
- •Раздел II.Дифференциальное исчисление функции одной переменной.
- •Раздел III. Функции нескольких переменных.
- •6. Приложения.
- •6.1. Образец решения контрольных задач типового варианта.
- •Часть 1.
- •А); б) ; в) .
- •6.2. Краткие теоретические сведения.
- •Тема 1. Множества. Числовые множества. Функция.
- •Тема 2. Комплексные числа и многочлены.
- •Тема 3. Предел функции. Эквивалентные функции.
- •Тема 4. Числовые последовательности. Предел последовательности.
- •Тема 5. Непрерывность функции.
- •Тема 6. Производные и дифференциалы функции одной переменной.
- •Тема 7. Основные теоремы о дифференцируемых функциях и их приложения.
- •Тема 8. Исследование функций с помощью производных, построение их графиков.
- •7.1 Возрастание, убывание функций. Экстремум.
- •7.2 Наибольшее и наименьшее значения функции.
- •7. 3 Выпуклость, вогнутость, точки перегиба. Асимптоты.
- •7.4 Построение графиков функций.
- •Тема 9. Основные понятия о функции нескольких переменных.
- •Тема 10. Производные и дифференциалы функции нескольких переменных, их приложения.
- •Тема 11. Векторный анализ и элементы теории поля.
- •Тема 12. Неявные и выпуклые функции.
- •Тема 13. Экстремумы функций нескольких переменных.
- •Тема 14. Приложения к общей экономической теории.
- •6.3 Основные математические формулы.
- •С о д е р ж а н и е
Тема 5. Непрерывность функции.
Если функция определена всюду в некоторой окрестности точки(левой полуокрестности, правой полуокрестности) и(,), то функцияназываетсянепрерывной в точке (непрерывной слева, непрерывной справа).
Каждая основная элементарная функция непрерывна в каждой внутренней точке своей области определения и непрерывна слева (справа) в крайней правой (крайней левой) точке области определения.
Если в точке , тоназываетсяточкой разрыва функции . При этом различают следующие случаи:
1) Если , тоназываетсяточкой устранимого разрыва функции .
2) Если в точке функцияимеет конечные односторонние пределыи, но они не равны друг другу, тоназываетсяточкой разрыва 1-ого рода.
3) В остальных случаях называетсяточкой разрыва 2-ого рода .
Функция называетсянепрерывной на отрезке , если она непрерывна в каждой его точке (в точке- непрерывна справа, в точке- непрерывна слева). Функциянепрерывная на отрезкеобладает свойствами:1) ограничена на ;2) достигает на отрезке своего наименьшего значенияи наибольшего значения;3) для любого числа , заключённого между числамии, всегда найдётся точкатакая, что;4) если , то всегда найдётся точкатакая, что.
Тема 6. Производные и дифференциалы функции одной переменной.
Приращением функции в точке, соответствующим приращению аргументаназывается выражение.
Производной 1-ого порядка функции в точкеназывается конечный предел. Геометрический смысл производной состоит в том, что числоравно угловому коэффициенту касательной к графику функциив точке:, где- угол наклона касательной к осипрямоугольной декартовой системы координат.
Функция, имеющая производную в данной точке, называется дифференцируемой в этой точке. Необходимым условием дифференцируемости в точке является непрерывность функции в данной точке.
Если функция непрерывна в точкеи, то говорят, что в точкефункцияимеетбесконечную производную. В этом случае касательная к графику функции в точкеперпендикулярна к оси.
Числа иназываются, соответственнолевой и правой производными функции в точке. Условиеравносильно дифференцируемости функциив точке, при этом.
Любая элементарная функция дифференцируема во всякой внутренней точкеестественной области определенияфункции, в которой аналитическое выражение её производнойимеет смысл. Производная, рассматриваемая на множестве тех точек, где она существует, сама является функцией. Операция нахождения производнойназывается такжедифференцированием функции .
Основные правила дифференцирования элементарных функций.
1. Если идифференцируемые функции,- постоянная, то:
|
|
|
, |
|
, |
2. Если функция дифференцируема в точке, а функциядифференцируема в точке, то сложная функциядифференцируема в точкеи имеет производную:
или кратко ..
Логарифмической производной функции называется производная от логарифма этой функции, т.е..
Применение предварительного логарифмирования функции приводит к следующему, часто более простому, способу вычисления её производной: . Например, для степенно-показательной функции, где,- дифференцируемые функции:
.
Если дифференцируемая функция задана неявно уравнением, то производнаяэтой неявной функции может быть найдена из уравнения, линейного относительно, где-рассматривается как сложная функция переменной.
Если и-взаимно обратные дифференцируемые функции и, то справедлива формула:(правило дифференцирования обратной функции).
Если дифференцируемая функция задана параметрически:,, где,-дифференцируемые функции и, то справедлива формула:(правило дифференцирования функции заданной параметрически).
При дифференцировании сложных и обратных функций, а также функций заданных неявно и параметрически для производной используют обозначения типа там, где необходимо уточнить, по какой переменной ведётся дифференцирование.
Производной 2-ого порядка от функции называется производная от её первой производной и обозначается, т. е.. В общемпроизводной порядка (-ой производной) называется производная от -ой производной и обозначается, т.е..Для производнойиспользуется также обозначение. Производнаяфункциивычисляется её последовательным дифференцированием:,,, …,. Если функциязадана параметрически, то её производные высших порядков находятся по формулам:
, ,….
Если функция дифференцируема в точке, то её приращениеможет быть представлено в виде:
, где при.
Дифференциалом функции в точкеназывается главная, линейная относительночастьприращенияфункции:. В частности, для функцииимеем, т.е. дифференциал независимого переменногосовпадает с приращением. Поэтому дифференциал функциизаписывается в виде. Форма записи первого дифференциала не изменится и в том случае, если переменнаяявляется функцией от новой независимой переменной (свойство инвариантности формы первого дифференциала).
Для функции одной переменной существование в точкееё дифференциалаи производнойравносильны.
Дифференциалом 2-ого порядка функции называется дифференциал от её первого дифференциала и обозначается, т. е.. В общемдифференциалом порядка называется дифференциал от дифференциала -ого порядка и обозначается, т.е..
Если - независимая переменная, то для нахождения дифференциалафункциисправедлива формула.
Первый дифференциал применяют для приближённого вычисления значений функции в малой окрестности точки, в которой функция дифференцируема, по формуле:
, где .
Чем меньше значение , тем точнее приближённая формула.
Уравнение касательной к графику функции в точкеимеет вид:, ауравнение нормали - вид: .Углом между двумя кривыми ив точке их пересеченияназывается уголмежду касательными к этим кривым в точке, тангенс которого вычисляется по формуле:.
Пусть некоторая экономическая величина (издержки производства, прибыль, производительность и т.д.) задаётся непрерывной функцией . Тогда,предельной для называется величина,средней – величина . Буква- сокращение от слова(предельный), буква- сокращение от слова(средний). Предельная величинаявляется мерой реагирования одной переменной величины на изменение другой и показывает приближённый абсолютный приростпри изменениина единицу.
Эластичностью функции в точкеназывается предел. Эластичность, также как и, является мерой реагирования одной переменной величины на изменение другой и показывает приближённый процентный приростпри изменениина один процент. Находят эластичностьфункциипо формуле