Тема 13. Экстремумы функций нескольких переменных.

Точка , принадлежащая области определенияфункции , называется стационарной точкой функции, если в этой точке каждая из её частных производных равна нулю, т.е. ,…,или.

Точка называетсяточкой минимума (максимума) функции , если существует окрестность точки такая, что для всех точекэтой окрестности выполняется неравенство().

Точки минимума и максимума функции называются точками экстремума, а значения функции в этих точках – экстремумами функции.

Необходимое условие экстремума. Если - точка локального экстремума функции , дифференцируемой в точке, то- стационарная точка функции.

Достаточное условие экстремума. Пусть - стационарная точка дважды дифференцируемой в точке функции _. Тогда, если при всевозможных наборах значений , не равных одновременно нулю:

1) , то в точкефункцияимеет максимум;2) , то в точкефункция имеет минимум;3) принимает как положительные, так и отрицательные значения, то в точкефункцияне имеет экстремума.

Исследование знака сводится к исследованию знакоопределённости второго дифференциала, как квадратичной формы относительно переменных(например, с помощью критерия Сильвестра).

В частности, функция в стационарной точке, при условии, где,,:1) имеет максимум, если и;2) имеет минимум, если и;3) не имеет экстремума, если .

Точка называетсяточкой условного минимума (максимума) функции , если существует окрестность точки такая, что для всех точекэтой окрестности, удовлетворяющих уравнениям связи() выполняется неравенство(). Точки условного минимума и максимума функции называютсяточками условного экстремума, а значения функции в этих точках – условными экстремумами функции.

Задача нахождения условного экстремума сводится к нахождению обычного экстремума функции Лагранжа , где() –постоянныемножители Лагранжа.

Необходимое условие условного экстремума. Если - точка условного экстремума функциипри наличии уравнений связи() , то в точке выполняются условия

.

Решая данную систему, находят неизвестные координаты точки , в которой возможен условный экстремум и соответствующие ей значения множителей Лагранжа.

Вопрос о существовании и характере условного экстремума решается на основании изучения (например, с помощью критерия Сильвестра) знака второго дифференциала функции Лагранжа в точкепри значениях, рассматриваемого как квадратичная форма относительно переменныхпри условии, что они связаны соотношениями:().

В частности, для функции исследуется знакпри условии.

Достаточное условие условного экстремума. Пусть - точка возможного условного экстремума функции , т.е. в этой точке выполнены необходимые условия условного экстремума. Тогда, если при всевозможных наборах значений, удовлетворяющих соотношениям() и не равных одновременно нулю:1) , то в точкефункцияимеет условный максимум;2) , то в точкефункция имеет условный минимум;3) принимает как положительные, так и отрицательные значения, то в точкефункцияне имеет условного экстремума.

Если функция дифференцируема в ограниченной и замкнутой области, то она достигает своих наибольшего и наименьшего значений в этой области или в стационарной точке, или в граничной точке области.