Словесно эту формулу можно описать так: результатом выполнения операции деления является отношение R1 R2, которое включает в себя атрибуты отношения R1, отличные от атрибутов отношения R2, и только те кортежи, декартовы произведения которых с телом отношения R2 дают (в объединении) тело отношения R1.

Замечание. Эта операция называется делением потому, что она в некотором смысле обратна операции (декартова) произведения в силу выполнения тождества:

pR1 R2q R2 R1

3.2. Приоритеты операций

Поскольку результатом рассмотренных реляционных операций является некое отношение, можно образовывать реляционные выражения, в которых вместо отношения-операнда некоторой реляционной операции находится вложенное реляционное выражение. Вычислительная интерпретация реляционного выражения диктуется установленными приоритетами операций:

Условно можно это записать одной строкой (символ ě интерпретируется как «выше», а — «тот же» или «одинаковый»):

F A ě ' X ě Y :

3.3. Базис алгебры и ства операций

Базис

Базисными операциями алгебры Кодда, через которые выражаются все остальные реляционные операции, являются:

1 Выборка,

2 Проекция,

3 Декартово произведение,

4 Объединение,

5 Разность.

Все остальные реляционные операции можно выразить через базисные, например, следующим образом:

1. Пересечение:

R1 X R2 R1 pR1 R2q;

2. -соединение:

R1 'F R2 F pR1 R2q ;

3. Естественное соединение (при общих атрибутах A HR1 X HR2 ):

R1 ' R2 HR1 YHR2 ŹaPApR1:a R2:aqpR1 R2q ;

20

4.Левое и правое внешние -соединения отношений R1 и R2: пусть Ω — отношение с заголовком HR2 zHR1 (для правого — HR1 zHR2 ) и одним кортежем, заполненным лишь неопределенными

значениями !, тогда

Свойства операций

Дадим несколько определений:

Определение 15. Говорят, что унарный оператор f распределяется по бинарной операции f, если fpA f Bq fpAq f fpBq.

Определение 16. Говорят, что бинарная операция распределяется по бинарной операции f, если

A pB f Cq pA f Bq pA f Cq.

Теперь перечислим другие свойства реляционных операций, используемых при оптимизации запросов:

1. Коммутативность и ассоциативность:

R1 f R2 R2 f R1;

pR1 f R2q f R3 R1 f pR2 f R3q;

где f P tY; X; ; '; 'F ; 'F u и P t ; u:

2. Распределение выборки по операциям:

4. Идемпотентность:

R f R R; где f P tY; X; 'F ; '; 'F ; 'F ; 'F u:

5. Законы поглощения:

R1 Y pR1 X R2q R1;

R1 X pR1 Y R2q R1:

21