- •Теоретическая механика кинематика
- •2 009
- •Общие указания к выполнению контрольных и расчетно-графических работ
- •Основные понятия и методы кинематики
- •Кинематика точки
- •Кинематика простейших движений твердого тела
- •Сложное движение точки
- •Методические указания к выполнению контрольных работ
- •Задания на контрольную и расчетно-графическую работу
- •Схемы к решению задачи к2
- •Схемы к решению задачи к3
- •Библиографический список
Сложное движение точки
Движение точки называется сложным, если оно изучается по отношению к двум системам координат одновременно, причем одна из них подвижна.
Движение точки по отношению к неподвижным осям, скорость и ускорение в этом движении называются абсолютными. Их обозначают соответственно . Движение точки по отношению к подвижным осям, скорость и ускорение в этом движении называютотносительными и обозначают . Движение подвижных осей по отношению к неподвижным называетсяпереносным. Скорость и ускорение той точки подвижных осей, с которой совпадает в данный момент движущаяся точка, называются переносными и обозначаются .
При сложном движении точки решают, как правило, следующие задачи:
По заданным относительному движению точки и движению подвижных осей определить кинематические характеристики абсолютного ее движения.
Заданное абсолютное движение разложить на составляющие движения.
Обозначим радиус-вектор подвижной точки М по отношению к неподвижным осям координат Оx1y1z1 через , радиус-вектор точки начала координат подвижных осей Axyz через и радиус-вектор точки М по отношению к подвижным осям через, то имеем
. (51)
Последний вектор задан в подвижных осях, то есть через свои проекции на подвижные оси с единичными векторами
, (52)
где x, y, z – координаты точки М в подвижных осях
Формула (51) определяет уравнение абсолютного движения точки М в векторной форме (рис. 11).
Рис. 11
Зависимость между абсолютной, относительной и переносными скоростями точки определяется теоремой о сложении скоростей: «абсолютная скорость точки равна векторной сумме относительной и переносной скоростей»,
. (53)
Зависимость между ускорениями точки в абсолютном, относительном и переносном движениях определяется теоремой о сложении ускорений, иначе называемой теоремой Кориолиса: «абсолютное ускорение точки равно векторной сумме относительного, переносного и кориолисова ускорений»,
. (54)
Относительная скорость и ускорение, как правило, определяются методами кинематики точки, а переносные скорость и ускорение определяются методами кинематики твердого тела.
Кориолисово ускорение определяется по формуле
, (55)
где – вектор угловой скорости подвижных осей (переносного движения),– вектор относительной скорости точки. Кориолисово ускорение по модулю равно
, (56)
то есть удвоенному произведению модулей угловой и относительной скоростей на синус угла между ними.
Направление кориолисова ускорения определяется по правилу векторного произведения векторов: вектор направлен перпендикулярно плоскости, построенной на векторахив ту сторону, откуда поворот векторапри совмещении с векторомна кратчайший угол представляется происходящим против хода часовой стрелки (рис. 12).
Наряду с этим, применяют для нахождения направления кориолисова ускорения и правило Н. Е. Жуковского: «Спроецировать вектор на плоскость, перпендикулярную векторуи повернуть эту проекцию на угол 900 в сторону вращения подвижных осей (тела)» (рис. 13).
Рис. 12
Рис. 13
При решении задач рекомендуется следующая последовательность действий:
разложить движение на составляющие, определив абсолютное, относительное и переносное движения;
выбрать две системы координат: абсолютную и подвижную;
мысленно остановив переносное движение, определить скорость и ускорение точки в относительном движении;
мысленно остановив относительное движение, найти угловую скорость и ускорение переносного движения, а затем скорость и ускорение в переносном движении;
по известным угловой скорости переносного движения и относительной скорости найти кориолисово ускорение точки;
пользуясь методом проекций, определить проекции абсолютной скорости и абсолютного ускорения на оси координат;
по найденным проекциям определить модуль и направление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки.