Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Рыбинский государственный авиационный технический университет им. П. А. Соловьева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

справочник математика

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.03.2016

Размер:

484.12 Кб

Скачать

☆

1 / 71 2 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

КРАТКИЙ СПРАВОЧНИК по математике

для подготовки к Интернет-тестированию

Пособие содержит справочные данные, основные понятия и определения по некоторым разделам курса «Высшая математика» и предназначено для подготовки к интернет-тестированию (интернет-экзамену) студентов всех специальностей. Подготовлено доц. каф. ВМ Васильевой А.В.

	ОГЛАВЛЕНИЕ
1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ.....................................................		5
1.1.	Матрицы..............................................................................................	5
1.2. Определители........................................................................................		7
1.3.	Обратная матрица. Матричные уравнения .....................................	8
1.4. Линейное пространство .......................................................................		9
1.4.1. Линейная зависимость и независимость .....................................		9
системы векторов .....................................................................................		9
1.4.2. Связь между координатами.........................................................		10
вектора в разных базисах.......................................................................		10
1.5. Линейные операторы .........................................................................		11
1.6. Собственные векторы и собственные ..............................................		12
значения линейного оператора ................................................................		12
1.7. Квадратичные формы.........................................................................		13
1.8. Евклидово пространство....................................................................		14
1.9. Пространство геометрических векторов.........................................		16
1.9.1. Скалярное произведение .............................................................		16
1.9.2. Векторное произведение .............................................................		18
1.9.3. Смешанное произведение ...........................................................		19
2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ........................................................		20
2.1. Прямая линия на плоскости ..............................................................		20
2.2. Кривые второго порядка....................................................................		21
2.3. Плоскость ............................................................................................		21
2.4. Прямая в пространстве.......................................................................		22
2.5. Поверхности второго порядка...........................................................		22

3.	ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ..................................	23
	3.1. Функции. Предел и непрерывность..................................................	23
	3.2. Производная функции........................................................................	24
4.	КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ......................................................................	25
5.	НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ........................................................	26
6.	ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ .............................................................	27
7.	ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.......................................	28
	7.1. Частные производные ........................................................................	29
	7.2. Экстремумы функции двух переменных .........................................	29
8.	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ..............................................	30
	8.1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
	.....................................................................................................................	30
	8.2. Линейные уравнения 1-го порядка...................................................	31
	8.3. Линейные уравнения второго порядка с..........................................	31
	постоянными коэффициентами................................................................	31
9.	РЯДЫ .........................................................................................................	32
	9.1. Числовые ряды....................................................................................	32
	9.2. Степенные ряды..................................................................................	34
	9.3. Ряд Тейлора.........................................................................................	35
10. РЯДЫ ФУРЬЕ .........................................................................................		36
	10.1. Тригонометрические ряды (ряды Фурье) периодической
	функции периода 2π ..................................................................................	36
	10.2. Ряд Фурье функций периода 2l ......................................................	37
11. МНОЖЕСТВА.....................................................................................		38
	11.1. Виды множеств.................................................................................	38
	12.2. Действия над множествами.............................................................	39
12. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.....................................................		43
13. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ ......................................................		43
14. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ..................................................................		46
	14.1. Классическое определение вероятности........................................	46
	14.2. Основные теоремы ...........................................................................	46
	14.3. Повторение испытаний....................................................................	47

14.3.1. Формула Бернулли.....................................................................		47
14.3.2.	Локальная теорема Лапласа..................................................	47
14.3.3.	Интегральная теорема Лапласа.............................................	48
14.3.4.	Формула Пуассона .................................................................	48
14.4. Дискретные и непрерывные случайные величины......................		48
14.4.1. Функция (интегральный закон) распределения случайной
величины .................................................................................................		48

14.4.2.Плотность вероятности (дифференциальный закон)

распределения непрерывной случайной величины...........................

14.4.3.Числовые характеристики распределения случайной

величины .................................................................................................	50
14.5. Законы распределения непрерывных.............................................	51
случайных величин....................................................................................	51
14.5.1. Нормальное (Гауссово) распределение ...................................	51
14.5.2. Равномерное (равновероятное, прямоугольное).....................	52
распределение.........................................................................................	52
14.5.3. Показательное (экспоненциальное) .........................................	53
распределение.........................................................................................	53
15. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА...............................................	54
15.1. Статистические оценки....................................................................	54
параметров распределения .......................................................................	54
15.1.1. Оценка математического ожидания.........................................	54
(выборочной средней)............................................................................	54
15.1.2. .Оценка дисперсии .....................................................................	54
15.2. Точечные оценки точности оценок ................................................	55
(статистик) генеральных числовых характеристик θx ........................	55
15.3. Интервальная оценка точности.......................................................	56
(надежность) генеральных математического ожидания и дисперсии. 56
16. ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА И......................................................	58
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ.............................................................................	58
16.1. Дискретная математика ...................................................................	58
16.2. Численные методы ...........................................................................	59
16.2.1. Решение дифференциальных уравнений.................................	59
16.2.2. Вычисление определённых интегралов...................................	60
16.2.3. Решение алгебраических уравнений........................................	60

ЛИТЕРАТУРА ..............................................................................................

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1.1. Матрицы

Произвольная система элементов, расположенная в виде таблицы

a11	a12 ... a1n
	a22 ... a2n
A = a21	a22 ... a2n	,
.......................

am1	am 2 ... amn

имеющей m строк и n столбцов, называется матрицей m × n размера m × n или просто матрицей.

Если m = n , то матрица называется квадратной, а число n – порядком матрицы.

При m < n матрица называется горизонтальной, а при m > n –

вертикальной.

В квадратной матрице

a11	a12	... a1n
	a22	...
A = a21			a2n
.......................
	an 2	...
an1			ann

элементы a11, a22 ,..., ann образуют главную диагональ.

Диагональная матрица – это квадратная матрица, у которой aij = 0 при i¹j

a11		0 ...	0
	0	a ... 0
A =		22		.
	.....................
	0	0 ...
	0	0 ...	ann

Единичная матрица – это диагональная матрица, у которой все aii = 1. Она обозначается буквой Е

1	0 ...	0

E = 0	1 ...	0	.
...............
	0 ...	1
0	0 ...	1
Если все элементы матрицы равны нулю, то матрица называется
нулевой и обозначается буквой О.
Равенство матриц. Две матрицы		A = (aij ) и B = (bij ) одинаковых

размеров называются равными, если равны их соответствующие элементы aij = bij .

Транспонированная матрица. Матрица АТ называется транспонированной по отношению к матрице А, если строки матрицы А являются столбцами матрицы АТ.

Сумма матриц. Суммой двух матриц A = (aij ) и B = (bij ) одинаковых размеров является матрица

C = A + B = (cij ) = (aij + bij ).

Разность матриц. A − B = D = (dij ) = (aij − bij ).

Умножение матрицы на число. При умножении матрицы А на число λ каждый элемент матрицы умножается на λ

λ A = (λaij ).

Матрица -A = (-1) A называется противоположной матрице А.

Свойства матриц.

Пусть А, В и С – матрицы и α, β − числа. Тогда из определенных выше операций следуют свойства:

1.A + B = B + A,

2.( A + B) + C = A + (B + C),

3.A + O = A,

4.A + (-A) = O,

5.1× A = A,

6.α ( A + B) = α A +α B,

7.(α + β ) A =α A + β A,

8.(αβ ) A = α (β A).

Умножение матриц. Произведение A × B = C существует, если число столбцов атрицы А равно числу строк матрицы В, т.е.

Am×n × Bn×k = Cm×k = (cij ),

где

cij = ai1b1 j + ai 2b2 j + ... + ainbnj = ∑aipbpj . p=1

Формула определяет правило умножения: чтобы получить элемент cij , стоящий в i-й строке и j-м столбце матрицы С, необходимо

элементы i-й строки матрицы А умножить на соответствующие элементы матрицы В и полученные произведения сложить.

Замечание. Произведение двух матриц не обладает свойством перестановочности, т.е. для произвольных матриц А и В

AB ¹ BA.

Свойства. А, В, С – матрицы, α − число.

Выполняются свойства:

9. A × (BC) = ( AB)C,	12. C( A + B) = CA + CB,
10. α( AB) = (αA)B,	13.	( AB)T = BT × AT ,
11. ( A + B)C = AC + BC,	14. ( A + B)T = AT + BT .
Степени матрицы. Пусть	А –	квадратная матрица и k –
натуральное число. Тогда

Ak = A × A...A.

14243

k раз

По определению, A0 = E − единичная матрица.

1.2. Определители

Определитель (или детерминант) n-го порядка обозначается как

	a11	...	a1n
det A =	.................			.
	an1	...	ann

Если в матрице вычеркнуть элементы i-й строки и j-го столбца, на пересечении которых стоит элемент aij , то получится квадратная

матрица (n−1)-го порядка. Определитель этой новой матрицы обозначают Mij и называют минором (n−1)-го порядка элемента aij. Величина

Aij = (−1)i+ j Mij

называется алгебраическим дополнением элемента aij.

Отсюда следует, что Aij = Mij , если i+j четное число, и Aij = −Mij , если i+j нечетное число.

Определитель 2-го порядка определяется как:

a11

a12

= a a

− a a .

a21

a22

Определитель 3-го порядка определяется как:

a11

a12

a13

= a

a22

a23

− a

a21

a23

+ a

a21

a22

a a a

a31

a32

a33

1.3. Обратная матрица Матричные уравнения

Квадратная матрица А называется вырожденной (особой), если det A = 0 и невырожденной (неособой), если det A ¹ 0.

Пусть А – невырожденная матрица. Матрица А−1, удовлетворяющая условию

A−1 A = AA−1 = E,

называется обратной к матрице А.

Обратная матрица А−1 имеет вид:

						A11	A21	... An1
		1 %			1	A12	A22	... An 2
	−1	1 %			1	A12	A22	... An 2
A		=		A =					.
A		=	det A	A =		.......................			.
						A1n	A2n
						A1n	A2n	... Ann

В частности, если матрица А - матрица второго порядка

a	b		1	d		− b
A =	,	A−1 =					.
A =	,	A−1 =					.
					− c
c	d		det A		− c	a

Матричные уравнения и их решения имеют вид:

1.	AX = B,	X = A−1B.
2.	XA = B,	X = BA−1.
3.	AXC = B,	X = A−1BC −1.

Здесь А, В и С – заданные матрицы порядка n, Х – матрица неизвестных того же порядка.

1.4. Линейное пространство

Непустое множество L элементов x, y, z , ... называется линейным (векторным) пространством, если определены операции сложения элементов и умножения их на действительные (комплексные) числа, не выводящие за пределы L (x + y Î L, α x Î L − замкнутость операций) и удовлетворяющие следующим свойствам (аксиомам):

1)x + y = y + x;

2)(x + y) + z = x + ( y + z );

3) 0 L x L (x + 0 = x );

4)x L (−x ) L (x + (−x ) = 0);

5)1× x = x;

6)α (β x ) = (αβ )x;

7)(α + β )x = α x + β x;

8)α (x + y) = α x +α y,

где x, y, z Î L; α , β − числа.

Элементы x, y, ... линейного пространства называются векторами.

1.4.1. Линейная зависимость и независимость системы векторов

Пусть a1, a2 ,..., ak − произвольные векторы пространства L, а c1,c2 ,...,ck − числа. Выражение c1a1 + c2a2 +... + ck ak называют линейной комбинацией векторов a1, a2 ,..., ak .

Если

z = c1a1 + c2a2 +... + ck ak ,

то говорят, что вектор z представлен в виде линейной комбинации векторов a1,..., ak (или разложен по векторам a1,..., ak ).

Система векторов {a1,..., ak } L называется линейно зависимой (векторы a1,..., ak линейно зависимы), если существуют числа λ1,...,λk не все равные нулю и такие, что

λ1a1 + λ2a2 +... + λk ak = 0.

Если же равенство возможно только при λ1 = λ2 = ... = λk = 0, то система называется линейно независимой (векторы a1,..., ak линейно независимы).

1.4.2. Связь между координатами вектора в разных базисах

Пусть Е= (e1,..., en ), А= (a1,..., an ) – два различных базиса произвольного n-мерного пространства Ln.

Каждый вектор ai из А разложим по базису Е:

a1 = t11e1 + t21e2 +... + tn1en , a2 = t12e1 + t22e2 +... + tn2en ,

..........................................

an = t1ne1 + t2ne2 +... + tnnen .

Матрицей перехода T от базиса Е к базису А называется матрица

t11		t12 ...			t1n
T = t	21	t	22	...	t		,
	21		22			2n
		tn2 ...
tn1		tn2 ...			tnn

1 / 71 2 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
20.03.2016681.98 Кб251Создание и обработка звука (Павлов).doc
#
08.03.201512.88 Кб24СопроМат правила.docx
#
18.08.201983.46 Кб2Социологическое исследование.doc
#
25.08.201971.68 Кб4Спецификация программных требований.doc
#
27.09.2019160.65 Кб24СПО ЛЕКЦИИ.docx
#
20.03.2016484.12 Кб36справочник математика.pdf
#
08.03.2015115.2 Кб8средства и методы ук.doc
#
23.09.2019149.5 Кб3Стандарт обр по ИЯ.doc
#
08.03.2015243.71 Кб16Стандарт_СТП 1.01-2002.doc
#
08.03.2015203.78 Кб55Стандарт_СТП 1.01-2002.doc
#
08.05.2019243.71 Кб14Стандарт_СТП 1.01-2002.doc