Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Рыбинский государственный авиационный технический университет им. П. А. Соловьева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

справочник математика

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.03.2016

Размер:

484.12 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 74 5 6 7 > Следующая >>>

8.2. Линейные уравнения 1-го порядка

y′ + p(x) y = q(x), y и y′ входят в уравнение в 1-й степени.

Решение ищется в виде произведения двух функций: y = u(x) × v(x).

8.3. Линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

	y′′ + a1 y′ + a2 y = 0										(3)
–	однородное дифференциальное уравнение
	y′′ + a1 y′ + a2 y = f (x)										(4)
–	неоднородное дифференциальное уравнение.
		Решение однородного уравнения.
		Записывается характеристическое уравнение:
	λ 2 + a λ + a		2	= 0							(5)
		1	2
–	это квадратное уравнение.
		Находятся корни λ1 и λ2 характеристического уравнения.
Возможны случаи:
1.	λ ¹ λ – действительные числа, тогда y = C eλ1x + C							eλ2 x	– общее
	1	2				1	2
решение однородного уравнения (3).
2.	λ = λ = λ		–	действительные равные числа. y = C eλ x + C						xeλ x	– общее
	1	2					1		2
решение уравнения (3).
3. λ1 = α + β i,				λ2 = α − β i	– комплексные корни характеристического
уравнения.
		y = eα x (C cos β x + C			2	sin β x) – общее решение уравнения (3).
				1	2

Решение неоднородного уравнения.

Общее решение неоднородного уравнения (4) записывается в виде суммы: y = y + y , где y – общее решение однородного уравнения (3),

а y – частное решение неоднородного уравнения (4), которое находится по виду функции f (x).

1. f (x) = eax × Pn (x) , где Pn (x) - многочлен степени n. Если число a не является корнем характеристического уравнения, то y = eax ×Qn (x) , где Qn (x) - многочлен степени n с

неопределенными коэффициентами.

Если число a является корнем характеристического уравнения, то y = xs ×eax ×Qn (x) , где Qn (x) - многочлен степени n с неопределенными коэффициентами, и s – кратность корня a( s=1 при a = λ1 или a = λ2 , s=2 при a = λ1 = λ2 ).

2. f (x) = eax (Pn (x) cos bx + Tm (x) sin bx) , где Pn (x), Tm (x) -

многочлены степени соответственно n и m.

Если число a ± ib не является корнем характеристического

уравнения, то y* = eax (Q	(x) cos bx + R	N	(x) sin bx) , где Q	N	(x),	R	N	(x) -
N		N		N			N

многочлены степени N с неопределенными коэффициентами,

N = max{n, m}.

Если число a ± ib является корнем характеристического уравнения,

то y = x eax (QN (x) cos bx + RN (x) sin bx) .

f(x) не относится к 1-му или 2-му случаям. Тогда уравнение может быть решено методом вариации произвольных постоянных.

9.РЯДЫ

9.1.Числовые ряды

∞

Необходимое условие сходимости. Если ряд ∑Un сходится, то

	n=1
limUn	= 0. Необходимое условие не является достаточным, но если
n→∞
	∞
limUn	¹ 0 , то ряд ∑Un расходится.
n→∞	n=1
	n=1
	Знакоположительные ряды.

Признаки сравнения. Даны два ряда

∞
∑Un ,	(1)
n=1
∞
∑Vn .	(2)

n =1

Если Un ≤ Vn , то из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1);

из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2).

Следствие. Если существует конечный lim

= c ¹ 0,

то ряды (1) и

n→∞ V

(2) ведут себя одинаково.

Ряды-эталоны:

∞

- ∑

сходится при p > 1, расходится при p ≤ 1;

n=1

∞

- ∑aqn

сходится при

< 1, расходится при

³1.

n=0

∞

Признак Даламбера.

Дан ряд

∑Un

(Un ³ 0).

Если существует

n=1

конечный lim

Un+1

= d ,

то

при

d < 1 ряд

сходится,

при d > 1 -

n→∞ U

расходится, при d = 1 –

неопределенность.

= d .

Радикальный

признак

Коши.

lim n U n

При d < 1 ряд

n→∞

сходится, при d > 1 - расходится, при d = 1 –

неопределенность.

= 1.

В частности,

lim n

+ a n + a

+ ... + a

n→∞

сходится при

< 1 и S =

;

расходится при

³1.

- q

Знакочередующийся ряд

∞

∑(-1)n+1Un = U1 -U2 + ... + (-1)n+1Un + ...,

n=1

где Un ³ 0.

Признак Лейбница. Если: 1) Un	³ Un+1	; 2) limUn = 0, то ряд
∞		n→∞
∞
∑(-1)n+1Un сходится.
n=1

Знакопеременные ряды.

∞

Дан ряд ∑Un , где возможны Un ³ 0 или Un

£ 0 . Составляем ряд

n=1

из модулей

∞

где

-Un ,

если Un

< 0,

∑

если Un ³ 0.

n=1

Un ,

∞

Если сходится ряд ∑

то сходится и ряд ∑Un и называется

абсолютно сходящимся.

n=1

∞

Если ряд ∑

расходится, а

ряд ∑Un сходится, то он

n=1

называется условно сходящимся.

9.2. Степенные ряды

	∞
	∑an xn = a0 + a1 x + ... + an xn + ...
	n=0
	или
	∞
	∑an (x - x0 )n	= a0 + a1 (x - x0 ) + ... + an (x - x0 )n + ... .
	n=0	∞
		∞
	Интервал сходимости для ряда ∑an xn имеет вид (-R; R), для ряда
	∞	n=0
	∞	сходимости (x0 − R, x0 + R), где R – радиус
	∑an (x - x0 )n интервал	сходимости (x0 − R, x0 + R), где R – радиус

n=0

сходимости.

Для вычисления радиуса сходимости степенного ряда имеются

несколько формул, например:	r =	1			(Формула Даламбера).
		lim	U n+1


				U n
				U n
		n→∞

9.3. Ряд Тейлора

∞

f (n) (x )

f (x) = ∑

(x - x0 )n ,

n=0

где n! =1× 2 ×...× n,

0! =1.

Ряды Маклорена для некоторых функций:

∞

1) ex = ∑

=1+ x +

+ ... +

+ ..., x Î(-¥; +¥);

n=0

∞

2) cos x = ∑(-1)n

=1-

+ ... + (-1)n

+ ...,

x Î(-¥; +¥);

(2n)!

n=0

∞

2n−1

sin x = ∑

(-1)n+1

= x -

+ ... + (-1)n+1

+ ...,

x Î(-¥; +¥);

(2n -1)!

n=1

∞

4) ln(1+ x) = ∑(-1)n+1

= x -

+ ... + (-1)n+1

+ ...,

x Î(-1;1];

n=1

5) (1+ x)α

∞ α (α -1)...(α - (n -1))

= ∑

xn =

n=0

=1+α × x + α(α −1) x2 + ... + α(α −1)...(α −(n −1)) xn + ...,

x Î(-1;1).

При α = −1, получаем

∞

= ∑(-1)n xn =1- x + x2 - x3 + ... +

(-1)n xn + ...,

x Î(-1;1),

1+ x

n=0

∞

= ∑ xn =1+ x + x2 + x3 + ... + xn + ..., x Î(-1;1)

1- x

n=0

∞

2n+1

6) arctg x = ∑(-1)n

= x -

-... + (-1)n

+ ..., x Î(-1;1) .

2n +1

n=0

3 5

2n +1

10. РЯДЫ ФУРЬЕ

Тригонометрической системой функций называется следующая бесконечная система функций:

1, cos x, sin, cos 2x, sin 2x,..., cos nx, sin nx,... .

При нахождении коэффициентов ряда Фурье удобно помнить, что:

× cos nx =

π−π

= 0 ;

∫1

sin nx

−π

π−π = -

cos nπ - cos(-nπ )

(-1)

- (-1)

∫1

× sin nx = -

cosnx

= -

= 0 ;

−π

∫ cos nx × sin mx =

∫ [sin(n + m)x + sin(m - n)x]dx = 0 ;

−π

[cos(n + m)x + cos(m - n)x]dx = 0 ;

∫ cos nx × cos mx =

∫

−π

∫ sin nx × sin mx =

∫ [cos(n - m)x - cos(m + n)x]dx = 0 .

−π

2 −π

10.1. Тригонометрические ряды (ряды Фурье) периодической функции периода 2π

Тригонометрическим рядом называется ряд вида

a0 + (a1 cos x + b1 sin x) + (a2 cos 2x + b2 sin 2x) + ... + (an cos nx + 2

∞

+ bn sin nx) + ... =

+ ∑ (an cos nx + bn sin nx).

n=1

∞

f (x) =

+ ∑ (an cos nx + bn sin nx) ,

n=1

где a0

∫ f (x)dx ;

−π

n = 0,1,2,3,...;

∫ f (x) cos nx dx,

−π

n = 1,2,3,... .

∫ f (x) sin nx dx,

−π

Коэффициенты ряда Фурье чётных и нечётных функций.

Для чётных функций:

		2	π
an =			∫ f (x) cos nx dx, n = 0,1,2,3,...; bn	= 0, n = 1,2,3,....
	π
			0

Для нечётных функций:

		2	π
bn =			∫ f (x) sin nx dx, n = 1,2,3,...; an	= 0, n = 0,1,2,3,....
	π
			0

10.2. Ряд Фурье функций периода 2l

∞

nπx

f (x) =

+ ∑ (an

cos

+ bn

sin

)

n=1

nπx

n = 0,1,2,3,... ;

где

∫

f (x) cos

dx,

−l

nπx

bn =

dx, n = 1,2,3,... .

∫ f (x) sin

−l

Если f ( x) - нечётная функция, то её разложение не будет содержать косинусов:

∞		nπx		=	2	l	nπx	dx, n =1,2,3,... .
f (x) = ∑bn	sin		, где bn			∫ f (x) sin
					l
n=1		l				0	l

Если f ( x) - чётная функция, то её разложение не будет содержать синусов:

	a0	∞		nπx		=	2	l	nπx	dx, n = 0,1,2,3,....
f (x) =		+ ∑an	cos		, где an			∫ f (x) cos
							l
2		n=1		l				0	l

11. МНОЖЕСТВА

Элемент e A называется нейтральным элементом относительно алгебраической операции *, если e * x = x * e = x.

Нейтральный элемент относительно сложения называется нулевым элементом или просто нулем и обозначается соответствующей цифрой

0: х+0=0+х=0.

Нейтральный элемент относительно умножения называется единичным элементом или просто единицей и обозначается либо цифрой 1, либо буквой е: х·1=1·х=х.

Пусть (А, *) – алгебраическая структура с нейтральным элементом е. Элемент х’ называется симметричным элементу x относительно алгебраической операции *, если х*х’=x’x=e.

Валгебраической структуре с аддитивной формой записи элемент симметричный элементу х называется противоположным и обозначается (– х): x+(-x)=0.

Валгебраической структуре с мультипликативной формой записи элемент симметричный элементу х называется обратным и обозначается х-1 :х·х-1=х-1·х=1.

11.1. Виды множеств

N={1; 2; 3; ...; n; ... } — множество натуральных чисел;

Zo={0; 1; 2; ...; n; ... } — множество целых неотрицательных чисел;

{0,±2,±4,...}− множество чётных чисел,

{± 1,±3,...}− множество нечётных чисел

Z={0; ±1; ±2; ...; ±n; ...} — множество целых чисел;

Q={m/n: m Z,n N} — множество рациональных чисел.

R— множество действительных чисел.

Между этими множествами существует соотношение

N Zo Z Q R.

Множество R содержит рациональные и иррациональные числа. Всякое рациональное число выражается или конечной десятичной дробью или бесконечной периодической дробью. Так, 1/2= 0,5 (= 0,500...), 1/3=0,333... — рациональные числа.

Действительные числа, не являющиеся рациональными,

называются иррационалъными.

12.2.Действия над множествами

1.Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее их всех тех и только тех элементов, которые принадлежат множествам А

иВ одновременно: АÇВ, где символ Ç - знак пересечения множеств.

2.Для обозначения одновременной принадлежности множеству А

имножеству В используется также знак Ù (конъюнкция, или

логическое “ и”): xÎAÇB xÎA Ù xÎB.
3. В символической записи союз “ или”	может быть заменен также
знаком Ú (дизъюнкция, логическое “ или”):	хÏАÇВ хÏА Ú хÏВ.

4. Объединением двух множеств А и В называется такое множество С, которое состоит из всех тех элементов, которые принадлежат хотя

бы одному из множеств А или В: А В, где - символ объединения множеств.

5. Разностью двух множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В: А \ В, где символ \

является знаком разности для множеств.

6.Декартовым (прямым) произведением множества А на множество

Вназывают множество всех упорядоченных пар (a,b), где первый

элемент пары является элементом множества А, а второй – множества В и обозначается A × B.

Пример: А={1,2},B={3,4}. A × B = {(1,3), (1,4), (2,3)(2,4)},

A × A = {(1,1), (1,2), (2,1)(2,2)}

7. Булеан А – β( A) −множество всех подмножеств множества А. Их - 2|A| ‘элементов.

Пример: А={1,2,3}. β( A) = { ,{}1 ,{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}.

Математические символы

						Таблица 1

Символ	Название			Значение		Пример
	Произношение

	Импликация,	А Возначает				x = 2 x2 = 4 верно, но
	следование	«если A верно, то				x2 = 4 x = 2 неверно
	«влечёт» или	B также верно».				(так как
	«если…, то»	Иногда вместо				х=-2 также является
		него используют				решением)
					→.

	Равносильность	А Возначает
	«если и только	«A верно тогда и				x + 5 = 2 + y x + 3 = y
	если» или		только тогда,
	«равносильно»	когда B верно»

	Коньюнкция				истинно	(n > 2) (n < 4) n = 3



˄	«и»	тогда и только				если n – натуральное
		тогда, когда A и B				число
			оба истинны

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 74 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
20.03.2016681.98 Кб252Создание и обработка звука (Павлов).doc
#
08.03.201512.88 Кб24СопроМат правила.docx
#
18.08.201983.46 Кб2Социологическое исследование.doc
#
25.08.201971.68 Кб4Спецификация программных требований.doc
#
27.09.2019160.65 Кб25СПО ЛЕКЦИИ.docx
#
20.03.2016484.12 Кб36справочник математика.pdf
#
08.03.2015115.2 Кб8средства и методы ук.doc
#
23.09.2019149.5 Кб3Стандарт обр по ИЯ.doc
#
08.03.2015243.71 Кб16Стандарт_СТП 1.01-2002.doc
#
08.03.2015203.78 Кб57Стандарт_СТП 1.01-2002.doc
#
08.05.2019243.71 Кб14Стандарт_СТП 1.01-2002.doc