справочник математика

где i-й столбец составлен из координат вектора ai в базисе Е.

T –1 – это матрица перехода от базиса Е к базису А. Матрица перехода от базиса к базису всегда невырождена.

Пусть x1,..., xn – координаты вектора x в базисе Е, y1,..., yn – его координаты в базисе А. Тогда формулы, связывающие столбцы из

координат вектора в разных базисах Е и А соответственно, имеют вид:

X = T Y .

Y= T - 1X .

1.5.Линейные операторы

Линейным оператором в линейном векторном пространстве называется отображение ϕ пространства L в себя (ϕ : L → L) , для

которого выполняются свойства линейности

ϕ(αx ) =αϕ(x ), ϕ(x + y) =ϕ(x ) +ϕ( y ),

где x и y – произвольные элементы из L, α – число.

Линейные операторы можно задавать с помощью матриц. Пусть

ϕ(e1 ) = a11e1 + a21e2 +... + an1en ,

по базису ..................................................

ϕ(en ) = a1ne1 + a2ne2 +... + annen .

Запишем матрицу Aϕ , у которой i-м столбцом будут коэффициенты a1i , a2i ,..., ani разложения вектора ϕ(ei ) :

Линейному оператору ϕ в базисе e1,..., en однозначно соответствует матрица Aϕ , называемая матрицей линейного оператора.

Обратно, каждой квадратной матрице порядка n соответствует некоторый линейный оператор пространства Ln .

Нетрудно показать, что в разных базисах один и тот же оператор ϕ будет иметь различные матрицы.

Для сокращения будем записывать

(ϕ(e1 )...ϕ(en )) = (e1...en ) Aϕ или ϕ(ε) =εΑϕ .

1.6. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора

Пусть ϕ – линейный оператор пространства L.

Вектор x L называется собственным вектором оператора ϕ , если x ¹ 0 и ϕ(x ) = λx.

Число λ называется собственным значением оператора ϕ . Говорят, что вектор x соответствует (принадлежит) собственному значению λ .

Рассмотрим алгоритм нахождения собственных значений и векторов линейного оператора ϕ .

Пусть в пространстве L выбран некоторый базис и

матрица оператора ϕ и координатный столбец вектора x в данном базисе. Тогда можно записать AX = λX или ( A − λE) X = 0. Последнее равенство есть матричное уравнение однородной системы линейных уравнений. Решая эту систему, находят координаты собственного вектора x . Вектор x ¹ 0 , а это возможно только тогда, когда

Уравнение называют характеристическим уравнением матрицы А или линейного оператора ϕ . Характеристическое уравнение не зависит

от выбора базиса. Если раскрыть определитель, то получится алгебраическое уравнение n-ой степени с неизвестным λ :

Многочлен Рn (λ) называется характеристическим многочленом

матрицы А или оператора φ. Решая уравнение определяют его корни (собственные значения), а затем последовательно их подставляют в систему уравнений, решениями которой будут собственные векторы, отвечающие собственным значениям.

Матрица А называется матрицей квадратичной формы, очевидно,

что она будет симметрической.

Например, матрицей квадратичной формы

q(x1, x2 , x3 ) = x12 + 3x22 − 4x1x2 + 2x2 x3

то квадратичная форма запишется

q(x1, x2 , x3 ) = 7x12 + 4x22 − 5x32 − 6x1x2 + 4x1x3 + 2x2 x3.

Ранг матрицы А называется рангом квадратичной формы. Если А

– невырожденная матрица, то невырожденной будет и квадратичная форма.

Квадратичная форма называется канонической (имеет

канонический вид), если аij = 0 при i ¹ j .

Матрица канонической квадратичной формы имеет диагональный

вид.

Квадратичная форма q(x1,..., xn ) называется положительно определенной, если q(x1,..., xn ) > 0 для любого ненулевого набора чисел x1,..., xn , и отрицательно определенной, если q(x1,..., xn ) < 0 .

Существует критерий для установления знакоопределенности квадратичной формы - Критерий Сильвестра:

1. Для положительной определенности квадратичной формы необходимо и достаточно, чтобы главные миноры

a11 ... a1k

...................

ak1 ... akk

матрицы А квадратичной формы были положительны для всех k =1,2,..., n .

2. Для отрицательной определенности квадратичной формы необходимо и достаточно, чтобы главные миноры нечетного порядка были отрицательны, а четного – положительны.

1.8. Евклидово пространство

Линейное пространство L называется евклидовым, если в нем определена операция скалярного умножения: каждой паре векторов x и y из L поставлено в соответствие действительное число,

обозначаемое символом (x , y ) , причем, выполнены следующие условия (свойства):

1)(x , y ) = ( y, x ),

2)(x + y, z ) = (x , z ) + ( y, z ),

3) (λx , y ) = λ(x , y ), λ Î R,

4) (x , x ) ³ 0, причем (x , x ) = 0 x = 0.

Из свойств 1−4 следуют свойства:

(x ,λy ) = λ(x , y ), (x , y + z ) = (x , y ) + (x , z ).

Определим некоторые понятия через скалярное произведение. Длина вектора. Длиной вектора x называется число

x = (x , x ).

Единичный вектор. Вектор e называется единичным или нормированным, если e =1.

Ортогональные векторы. Векторы x и y называются ортогональными, если (x, y) = 0.

Ортогональная система. Система x1,..., xk называется ортогональной, если

(xi , x j ) = 0 при i ¹ j.

Ортонормированный базис. Базис e1,...,en евклидова пространства L называется ортонормированным, если его векторы единичны и попарно ортогональны, т.е.

Каждой паре векторов x и y можно произвольным образом поставить в соответствие число, но оно будет скалярным произведением только в том случае, если выполняются свойства 1−4.

Нормирование базиса. Пусть a – произвольный вектор. Тогда вектор e = aa будет нормированным, так как

e = a = a =1. a a

6. Направляющие косинусы вектора. Пусть α , β ,γ – углы,

образованные вектором a = (x, y, z) соответственно с осями координат

Ox,Oy,Oz .

cos2 α + cos2 β + cos2 γ =1 и e = (cosα ,cos β ,cosγ )

– единичный вектор.

7. Деление отрезка в данном отношении. Пусть даны точки

M1 (x1, y1, z1 ), M 2 (x2 , y2 , z2 ) и отношение λ ¹ -1, в котором точка M ( x, y, z ) делит направленный отрезок M1M 2 . Тогда координаты точки М определяются как:

Замечание. Число λ может быть отрицательным, если точка М находится вне отрезка M1M 2 , и λ = 0 , если М совпадает с M1 .

8. Работа постоянной силы. Рассмотрим задачу. Под действием постоянной силы F некоторая материальная точка перемещается прямолинейно из положения В в положение С. Работа силы F , при перемещении из В в С, определяется как

A = F × BC cosϕ или A = (F , BC).

1.9.2. Векторное произведение

Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор, обозначаемый символом [a,b ] (или a ´ b ), определяемый тремя условиями:

1) [a ,b ] = a × b sinϕ, где ϕ - угол между a и b ;

2)вектор [a,b ] перпендикулярен векторам a и b ;

3)упорядоченная тройка векторов a,b ,[a,b ] – правая

Очевидно что [i , i ] = [ j , j ] = [k , k ] = 0;

[i , j ] = k , [ j , k ] = i , [k , i ] = j .

Площадь треугольника АВС равна

SABC = 12 [ AB, AC] .

1.9.3. Смешанное произведение

Смешанным произведением упорядоченной тройки векторов a,b ,c называется число ([a ,b ],c ) . Здесь вектор a умножается векторно на b , в результате чего получится некоторый вектор, который скалярно умножится на вектор c .

2. Объем тетраэдра. Рассмотрим тетраэдр (пирамида, основание которой есть треугольник ABD) с вершинами в точках A, B, D, A′ . Известно, что объем этого тетраэдра составляет шестую часть объема параллелепипеда, построенного на векторах a,b ,c . Следовательно,

Vтет = 16 abc .

2.АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

2.1.Прямая линия на плоскости

1.Ax + By + C = 0 – общее уравнение прямой на плоскости.

M1 (x1, y1 ), M 2 (x2 , y2 ).