9. Принцип причинности в квантовой механике. Уравнение Шредингера. Плотность потока вероятности

Изменение со временем состояний любой системы происходит в соответствии с принципом причинности. В физике суть этого принципа можно выразить утверждением:все изменения состояний динамической системы, понимаемые как переход от начальных состояний к конечным состояниям, с необходимостью обусловлены ее внешними и внутренними взаимодействиями как причиной этих изменений. В квантовой механике принцип причинности выражается следующим постулатом.

Постулат 5. Нерелятивистская квантовая система может находиться в тех, и только тех состояниях, волновые функции которых удовлетворяют уравнению Шредингера i= (,t), (9.1) где – гамильтониан системы.

Так как гамильтониан системы представляет собой линейный оператор, уравнение Шредингера является линейным. Следовательно, уравнение Шредингера удовлетворяет принципу суперпозиции.

Чтобы показать, что уравнение Шредингера (9.1) выражает собой принцип причинности, запишем его иначе. Для упрощения полагаем, что гамильтониан не зависит от времени (/t= 0). В этом случае формальное решение уравнения (9.1) можно записать в виде

(, t) = (t, t_o) (, t_o), (9.2)

где оператор эволюции

, (t > t₀) (9.3)

преобразует функцию состояния (,t_o) в начальный момент времениt_oв волновую функцию системы(,t) в момент времениt. Взаимодействия в системе отражаются гамильтонианом. Оператор эволюции являетсяунитарным: он не изменяет нормировку функции состояния.

Для частицы массы m, находящейся в потенциальном силовом поле, гамильтониан можем записать так

. (9.4)

Уравнение Шредингера такой системы можно записать в виде

–. (9.5)

Пространственная плотность распределения вероятности частицы определяется выражением

. (9.6)

Выражая временную производные от волновой функции из уравнения Шредингера (9.5) и комплексно сопряженного уравнения, найдем производную по времени от плотности вероятности:

. (9.7)

Используя формулу , получаем уравнение

. (9.8)

Если ввести вектор, называемый вектором плотности потока вероятности:

, (9.9)

то уравнение (9.8) принимает вид уравнения непрерывности

. (9.10)

Теперь нетрудно установить, что абсолютная величина вектора плотности потока вероятности имеет смысл наибольшей вероятности прохождения частицы через единичную площадку за единицу времени, а его направление перпендикулярно этой площадке.

10. Изменение во времени средних значений наблюдаемых. Картины Шредингера и Гейзенберга. Уравнения Гейзенберга

Среднее значение наблюдаемой Fв состоянии, описываемом нормированной функцией(,t), определяется формулой

F = _^*(, t)(, t) d. (10.1)

Найдем производную по времени

F=_{(^*)+^*()+^*}d. (10.2)

Производные от функций по времени выразим из уравнения Шредингера (9.1):

,. (10.3)

Подставив формулы (10.3) в правую часть (10.2), находим

= . (10.4)

В силу эрмитовости гамильтониана получим уравнение

или

. (10.5)

Отсюда следует, что при и , имеет местоF=const. Таким образом, среднее значение наблюдаемой не изменяется с течением времени, если ее оператор не зависит от времени явно и коммутирует с гамильтонианом. Такие наблюдаемые называютинтегралами движения.

Выше мы полагали, что с течением времени изменяется функция состояния (,t) системы, а операторы координат, импульсов, кинетической энергии и др. явным образом от времени не зависят. Изменение средних значений наблюдаемых обусловлено зависимостью от времени функции состояния, являющейся решением уравнения Шредингера. Такое описание временной эволюции квантовой системы называютпредставлением (или картиной) Шредингера. Однако, возможны и другие способы описания эволюции системы.

В представлении (картине) Гейзенбергазависимость от времени переносится с функции состояния на операторы наблюдаемых.

Функция (вектор³) состояния_H() представления Гейзенберга связана с функцией (вектором) состояния(,t) Шредингера так (см. (9.2) и (9.3)):

(,t) = _H(),^*(,t) =^*_H(), (10.6)

т.е. _H() =(, 0). Легко видеть, что нормировка функций сохраняется

_^*(, t)(, t) d = _^*_H()_H() d = 1.

Операторы в представлении Гейзенберга зависят от времени и связаны с операторами в представлении Шредингера следующим образом:

. (10.7)

Легко видеть, что приведенное определение гейзенберговских операторов и векторов состояния приводят к таким же средним значениям наблюдаемых, как и в представлении Шредингера:

F = _^*(, t)(, t) d = _^*_H()(t)_H() d. (10.8)

Дифференцируя по времени равенство (10.7) получаем дифференциальное уравнение движения для гейзенберговских операторов:

, (10.9)

которое описывает эволюцию системы в представлении Гейзенберга. Выполнив усреднение этого уравнения по вектору состояния гейзенберговского представления, приходим снова к равенству (10.5), как и следовало ожидать.

Последнее слагаемое в уравнении движения Гейзенберга представляет собой квантовые скобки Пуассона, которые являются аналогами классических скобок Пуассона.

Рассмотрим в классической механике некоторую величину F(p_i,x_i,t), зависящую от обобщенных импульсовp_i, координатx_iи времениt. Движение системы подчинено каноническим уравнениям:

,, (10.10)

где H=H(p_i,x_i) – функция Гамильтона.

Производная по времени динамической функции F(p_i,x_i,t) с учетом канонических уравнений движения приводится к виду

, (10.11)

где классические скобки Пуассона равны

. (10.12)

Если Fне зависит явно от времени и {H,F} = 0, тоF=const.