7. Условия совместной измеримости наблюдаемых. Полный набор наблюдаемых

Если функция состояния системы совпадает с собственной функцией оператора , то в этом состоянии наблюдаемаяFимеет определенное собственное значение. Если та же функция состояния является одновременно собственной функцией другого оператора , то в этом состоянии наблюдаемаяMтакже имеет определенное собственное значение. Другими словами наблюдаемыеFиMсовместно измеримы, если они имеют общую систему собственных функций.

Уже из принципа неопределенности ясно, что далеко не все наблюдаемые могут быть одновременно измерены.

Теорема 3. Для совместной измеримости наблюдаемыхFиMв данном состоянии необходимо и достаточно, чтобы их операторы коммутировали.

Доказательство необходимости. Пусть наблюдаемые F и M совместно измеримы, т.е. операторы имеют общий набор собственных функций {_n}:

_n = F_n_n, (7.1)

_n = M_n_n. (7.2)

Вычтем почленно из первого уравнения второе, умножив первое уравнение слева на оператор , а второе – на . Получаем

()_n = (F_nM_n – M_nF_n) _n = 0. (7.3)

Отсюда следует, что если FиMсовместно измеримы, то их операторы коммутируют:

. (7.4)

Доказательство достаточности. Пусть операторы и коммутируют, т.е.. Покажем, что они имеют общую систему собственных функций. Пусть_n– собственная функция оператора , относящаяся к невырожденному собственному значениюM_n:

_n=M_n_n.

Действуя слева на это уравнение оператором , и используя коммутационное соотношение , находим

. (7.5)

Из этого равенства видно, что функция _nявляется собственной функцией оператора , соответствующей собственному значениюM_n. Следовательно, функция _nможет отличаться от функции_nтолько числовым множителем. Обозначив этот множитель черезF_n, получаем уравнение

_n = F_n_n, (7.1)

из которого видно, функция _nтакже является собственной функцией оператора . Что и требовалось доказать.

Очевидно, что взаимно коммутирующих операторов может быть много, но не все из них будут независимыми. Полным наборомнаблюдаемых называют максимальную совокупность независимых совместно измеримых наблюдаемых.

8. Соотношение неопределенностей Гейзенберга

Пусть и– некоммутирующие эрмитовы операторы некоторых наблюдаемых. В любом состоянии обе наблюдаемые не могут одновременно принимать определенные собственные значения. Какие же ограничения накладываются на их дисперсии при одновременном их измерении?

В общем случае можно ввести эрмитов оператор , который связан с коммутатором рассматриваемых операторов:

. (8.1)

Введем операторы отклонения от средних значений:

,. (8.2)

Не сложно показать, что они удовлетворяют перестановочному соотношению

. (8.3)

Рассмотрим положительно определенный интеграл, зависящий от действительного параметра :

J() =_|()|²d0. (8.4)

Преобразуем его, воспользовавшись эрмитовостью операторов и:

J() = _[()]()*d =

= _*()[()]d =

= _*{}d =

= ²(A)² + (B)² + C  0. (8.5)

Значение параметра , при котором функцияJ() принимает минимальное значение, находим из условияJ/= 2(A)²+C= 0:

_m = – C/(2(A)²). (8.6)

Минимальное значение интеграла также положительно, поэтому

J(_m) = (B)² – C²/(4(A)²)  0. (8.7)

Отсюда находим соотношение неопределенностейдля наблюдаемыхAиB:

(A)²(B)²  C². (8.8)

Рассмотрим частные случаи.

а) Если принять =xи, то оператор=. Поэтому из условия (8.8) приходим к соотношению неопределенностей Гейзенберга:

(x)²(p_x)² или. (8.9)

б) Если же принять =, а , то=. В этом случае получаем соотношение неопределенностей для угловой переменной(азимута) и проекции момента импульса частицы:

L_z . (8.10)

в) Полагая =t, а, получаем соотношение неопределенностей для времени и энергии:tE . (8.11)