19*. Операторы рождения и уничтожения кванта для гармонического осциллятора. Когерентные состояния

Как видно из формулы (18.18) энергетический спектр осциллятора является эквидистантным, то есть расстояние между соседними уровнями энергии одинаково и равно . Поэтому, поглощая квант энергии, осциллятор переходит на уровень выше, а испуская – на один уровень ниже. В квантовой теории электромагнитное поле или поле колебаний атомов твердого тела рассматривают как совокупность (бесконечную для электромагнитного поля и конечную для поля колебаний атомов) осцилляторов, каждый из которых имеет то или иное число квантов. Число квантов осциллятора совпадает с квантовым числомnи называетсячислом заполнения. Изменение состояния осцилляторов поля рассматривается как процессрожденияиуничтоженияквантов поля (фотонов или фононов). В вакуумном состоянии осцилляторы поля имеют нулевые энергии.

Введем неэрмитовы операторы уничтоженияирождения кванта, связанные с операторами координаты и импульса осциллятора:

=, (19.1)

= , (19.2)

С их помощью операторы координаты и импульса можно выразить так:

, (19.3)

. (19.4)

Алгебраические свойства операторов рождения и уничтожения определяются их коммутатором. Так как [] =i, легко показать, что

. (19.5)

Подставив формулы (3) и (4) в (18.2), выражаем гамильтониан осциллятора через операторы рождения и уничтожения:

, (19.6)

где – эрмитов оператор числа заполнения, собственные значения которого являются квантовыми числами осциллятора (n= 1, 2, 3, …). Он коммутирует с гамильтонианом, поэтому имеет с ним общие собственные функции (18.21).

Умножая левую и правую части равенства (5) справа на оператор , получаем

или. (19.7)

Действуя равными операторами (7) на собственные функции оператора числа заполнения (18.21), получаем

(_n) = (_n – _n) = (n – 1)(_n). (19.8)

Отсюда следует, что функция (_n) с точностью до числового множителя совпадает с функцией_{n – 1}:

_n=c_n_{n – 1}. (19.9)

Чтобы найти числовой множитель c_n, воспользуемся условием нормировки функций_nи формулами (1) и (2):

==

===n.(19.10)

Полагая фазовый множитель равным единице, и используя дираковские обозначения для собственных функций (_n|n), равенство (9) можно записать в виде

|n= |n– 1. (19.11)

Аналогично находим для оператора рождения:

|n= |n+ 1. (19.12)

Из этих формул становится понятным смысл названия операторов и.

Действуя nраз на функцию |0нулевого или вакуумного состояния оператором рождения согласно (12), получаем

()ⁿ|0= |nили |n=|0. (19.13)

Если учесть, что |0=, то по формуле (13) с учетом (2) можно найти любую функцию |nвозбужденного состояния. Представление, в котором операторы поля выражаются через операторы рождения и уничтожения осцилляторов поля, называютпредставлением вторичного квантования.

В квантовой оптике часто используют представление когерентных состояний. Под когерентными состояниями осциллятора понимают собственные состояния |zоператора уничтожения:

|z=z|z, (19.14)

где z– соответствующее собственное значение. Оператор уничтожения не эрмитов. Его собственные значенияzявляются комплексными и занимают всю комплексную плоскость.

Нормированные обычным условием z|z= 1 векторы когерентных состояний могут быть выражены через собственные векторы осциллятора |n:

| z=. (19.15)

С течением времени вектор когерентного состояния изменяется по закону

| z,t=, (19.16)

а параметр состояния – по закону z(t) =.

Среднее значение энергии в когерентном состоянии остается постоянным и равным

E =(n + ½) =(|z|² + ½). (19.17)

В этом легко убедиться, так как |z(t)|²= |z₀|².

Средние значения координаты и импульса осциллятора изменяются с течением времени:

x(t) = x₀cos t + (p₀/m)sin t; (19.18)

p(t) = p₀cos t – mx₀sin t, (19.19)

где x₀иp₀– средние значения координаты и импульса осциллятора в начальный момент времени.