22. Движение частицы в сферической потенциальной яме. Сферический осциллятор

Частица в потенциальной яме. Часто для оценок оказывается удобной простая модельная система, которая представляет собой частицу массойm, движущуюся в сферически-симметричной потенциальной яме прямоугольной формы. Ее радиальная функция внутри потенциальной ямы (r<a) радиусомaявляется решением уравнения

. (22.1)

Решения этого уравнения выражаются функциями

, (22.2)

где A– нормировочный множитель,– сферические функции Бесселя,

. (22.3)

Из условия непрерывности волновой функции следует

. (22.4)

Корни этого уравнения (функции Бесселя) определяют дискретные значения энергии стационарных состояний:

. (22.5)

Полная волновая функция системы выглядит так:

. (22.6)

Проще всего найти решение этого уравнения для s-состояний, для которых значение орбитального числаl= 0. В этом случае уравнение (1) принимает вид волнового уравнения для плоской волны:

. (22.7)

Нормированные решения этого уравнения, удовлетворяющие условиям:

R(0) = 0 иR(a) = 0, (22.8)

вытекающим из требований конечности и непрерывности волновых функций, имеют вид

, (n = 1, 2, 3, …) (22.9)

Собственные значения энергии системы, соответствующие этим функциям в s-состояниях, не зависят отlи равны

, (n = 1, 2, 3, …)(22.10)

Сферический осциллятор. Под сферическим осциллятором понимают частицу массыm, которая движется в центральном поле с потенциалом

. (22.11)

Подставив (11) в радиальное уравнение получаем

. (22.12)

Здесь можно перейти к безразмерным величинам:

,, (22.13)

и привести уравнение (12) к виду

. (22.14)

Это уравнение имеет решение, если

,n,l= 0, 1, 2, … (22.15)

С учетом (13) получаются энергетические уровни системы:

,n,l= 0, 1, 2, … (22.16)

которые как и в случае линейного осциллятора являются эквидистантными и отстоят друг от друга на величину . Соответствующие радиальные волновые функции будут иметь вид

, (22.17)

где N_nl– нормировочный множитель,– вырожденная гипергеометрическая функция. Полная волновая функция осциллятора

. (22.18)

Каждое из состояний характеризуется двумя квантовыми числами nиl. Энергия зависит от комбинации= 2n +lэтих чисел, поэтому число= 0, 1, 2, … можно назвать главным квантовым числом. Уровни с 2 являются вырожденными, т.к. могут быть получены разными комбинациямиnиl.

23. Движение в кулоновском поле. Энергетический спектр атома водорода

В атоме водорода электрон движется в кулоновском поле ядра с потенциалом

U(r) = –, (23.1)

где – элементарный заряд. Будем интересоваться связанными состояниями электрона в атоме, когда энергия состоянийE< 0. Состояния с положительной энергиейE > 0 отвечают ионизации.

Пренебрегаем размерами ядра и его движением. Движение ядра легко учитывается путем замены массы электрона mна приведенную его приведенную массу [m/(1+m/M)], гдеM– масса атомного ядра.

Чтобы найти радиальную волновую функцию электрона в атоме водорода решим радиальное уравнение (21.9) с кулоновским потенциалом (1):

. (23.2)

Здесь удобно перейти к безразмерной переменной:

, (23.3)

где постоянная 0,5310^–10м – первый боровский радиус атома водорода. Перейдем теперь в уравнении (2) к безразмерной радиальной переменной:

,

. (23.4)

Для дальнейшего упрощения уравнения введем положительную безразмерную величину ²пропорциональную энергии электронаE:

. (23.5)

Радиальное уравнение (4) в безразмерных переменных принимает вид

(23.6)

Исследуем асимптотические свойства решения этого уравнения. При  вкладом последних двух слагаемых можно пренебречь. В этом пределе решение уравнения имеет видR() =. Так как эта функция должна быть конечной при , следует полагатьB= 0, т.е.R() =.

При  0 можно пренебречь вторым и третьим слагаемыми в уравнении (6). В этом случае решение имеет видR() =const^z. Подставив эту функцию в асимптотическое уравнение можно показать, чтоz l + 1.

Учитывая асимптотические свойства, будем искать решение уравнения (6) в виде

R() =. (23.7)

Найдем производные этой функции:

,

.

Подставив функцию (7) и ее производные в уравнение (6), получим уравнение

. (23.8)

Это уравнение можно привести к виду

= . (23.9)

Перенумеруем члены степенного ряда в левой части (+ 1). Учитывая, что два степенных ряда могут быть равны при любых значенияхтолько при равенстве коэффициентов при одинаковых степенях, получаем

=. (23.10)

Отсюда получаем рекуррентное соотношение:

. (23.11)

Все коэффициенты выражаются теперь через₀, который может быть найден из условия нормировки.

Решение в виде (7) должно быть ограниченным при  . Это может иметь место только, если ряд в (7) обрывается на некотором члене_max=n_r, что сводится к требованию

(n_r + l + 1) – 1 = 0. (23.12)

Здесь n_r = 0, 1, 2… –радиальное квантовое число. Целесообразно ввестиглавное квантовое число, связанное с радиальным числом:

n = n_r + l + 1. (23.13)

Главное квантовое число принимает значения n = 1, 2, 3, … . Воспользовавшись формулой (5), находим значения энергии стационарных состояний атома водорода:

= –I_H. (23.14)

Здесь I_H====– энергия ионизации атома водорода,– постоянная тонкой структуры. Ее численное значение, равноеI_H= 13,6 эВ, определяет масштаб атомных энергий.

Формула (14) энергии стационарных состояний атома водорода сыграла огромную роль в создании квантовой механики. Первоначально она была получена Н. Бором (1914) в его теории атома водорода. Исходя из этой формулы, он вывел формулу Бальмера, которая правильно описывала наблюдаемый в опыте спектр излучения атомарного водорода, но не нашла обоснование в классической физике. Вывод формулы (14) был дан Э. Шредингером (1926) в его волновой механике. Эта формула была выведена и в рамках матричной механики Гейзенберга (В. Паули, 1926).