24. Волновые функции и квантовые числа атома водорода. Водородоподобные и ридберговские атомы

Как было установлено выше, энергии состояний E_n= –I_H/n²атома водорода определяются только значением главного квантового числаn, и не зависит от других квантовых чисел. Это следствие того, что электрон движется в кулоновском поле. Волновые функции этих состояний имеют вид

, (24.1)

где f_nl(r) – радиальная функция,Y_lm(,) – сферическая функция. Отсюда видно, что волновые функции помимо главного числаnзависят еще и от значений орбитального числаlи магнитного числаm. Поэтому состоянияE_nатома водорода будут вырожденными. Причиной этого вырождения является кулоновский потенциал поля ядра. Такое вырождение отсутствует у атомов, содержащих более одного электрона, так как эффективное поле, действующее на электрон в многоэлектронном атоме отличается от кулоновского.

Из формулы (22.13) следует, что возможные значения орбитального числа ограничиваются значением главного квантового числа:

l= 0, 1, 2, … (n– 1), (24.2)

а модуль магнитного числа не может превышать значение орбитального числа:

m= 0,1,2,3, …l. (24.3)

Определим кратность вырождения состояния атома с заданным квантовым числом n. Без учета спина электрона она будет равняться

. (24.4)

В дальнейшем будет показано, что учет спина электрона приводит к удвоению кратности вырождения состояний атома: .

Радиальная функция f_nl(r), входящая в виде множителя в волновую функцию атома водорода, связана с функциейR_nl(r), которая является решением уравнения (22.2) и имеет вид

R(r) =. (24.5)

Учитывая это, радиальную функцию f_nl(r) можно записать так

f_nl(r) ==. (24.6)

Здесь r– расстояние от ядра до электрона,a– радиус первой боровской орбиты, а– полиномы Лагерра, которые можно найти по формуле

. (24.7)

Радиальные функции f_nl(r) нормируются условием

. (24.8)

Выражения для этих функций при значениях главного квантового числа n= 1, 2 и 3 приведены в следующей таблице 24.1.

Таблица 24.1

n	l	Состояние	Радиальная функцияfnl(r)	gn= n2
1	0	1s		1
2	0	2s		4
	1	2p
3	0	3s		9
	1	3p
	2	3d

На рисунке 24.1 приведены радиальные функции и радиальные распределения вероятностей для состояний 2sи 2pв безразмерных переменныхr/a.

а

б

Рис. 24.1. Радиальные функции (а) и радиальные распределения (б) вероятности 2s (сплошная линия) и 2p (пунктирная линия) состояний.

Как было найдено выше, нормированные сферические функции Y_lm(,), также входящие в виде множителя в волновую функцию атома, имеют вид

Y_lm(,) =. (24.9)

Они взаимно ортогональны как по значениям орбитального числа l, так и магнитного числаm, поэтому удовлетворяют следующим условиям ортонормированности:

. (24.10)

В целом же волновая функция (1) удовлетворяет условию нормировки:

. (24.11)

Для значений орбитального квантового числа l= 0, 1, 2 выражения для сферических функций приведены в следующей таблице 24.2.

Таблица 24.2

Состояние	l	m	Ylm(,)
s	0	0	Y0,0(,) =
p	1	0	Y1,0(,) = cos
		1	Y1,1(,) = sin
d	2	0	Y2,0(,) = (3cos2  – 1)
		1	Y2,1(,) = sin cos 
		2	Y2,2(,) = sin2

На основе рассмотренной выше квантово-механической теории атома водорода легко можно изучать состояния ионов других атомов, если они имеют всего один электрон. Подобные ионы называют водородоподобными. Энергии их состояний и волновые функции получаются из формул (23.14) и (24.6) заменойна, гдеZ– атомный номер (заряд ядра).

Улучшение экспериментальной техники позволило в последние годы наблюдать и исследовать атомы в высоковозбужденных состояниях, в которых значения главного квантового числа nдостигают нескольких сотен. В таких состояниях возбужденный электрон движется в кулоновом поле атомного остова. Такие водородоподобные атомы получили называниеридберговских атомов. Их размеры достигают в ряде случаев 10^–6м. Предпринимаются попытки получения конденсированного вещества, атомы которого находились бы в ридберговских состояниях.

1Смешанные состояния описываются матрицей плотности и будут рассмотрены позже.

2Зависимость от времени опущена для простоты.

3Понятие о векторе состояния будет дано позже в связи с матричным представлением операторов.

4Для таких волн обычная нормировка неприменима. Их необходимо нормировать на-функцию Дирака.

41