21. Общие свойства движения в центрально-симметричном поле

Рассмотрим общие свойства движения частицы в центрально-симметричном поле: U() =U(r), где . Гамильтониан системы имеет вид

, (21.1)

где ²– оператор Лапласа. В сферических координатах оператор Лапласа можно записать так:

. (21.2)

Подставив (2) в (1) получаем гамильтониан частицы в центрально-симметричном поле:

+U(r). (21.3)

а) Легко видеть, что этот гамильтониан коммутирует с операторами квадрата орбитального момента и проекции:

[] = 0, [] = 0. (21.4)

Следовательно, системы с гамильтонианом (3) могут находиться в стационарных состояниях с определенным значением энергии E, квадратаL²и проекцииL_zорбитального момента. Волновые функции этих состояний являются одновременно собственными функциями всех трех операторов,,:

, (21.5)

где l= 0, 1, 2…, аm=0,1,2, …l.

б) Здесь первое из уравнений (5) представляет собой стационарное уравнение Шредингера. Зависящий от угловых переменных множитель в его решении представляет собой собственную функцию операторов и, т.е. сферическую функцию:

= f_El(r)Y_lm(, ). (21.6)

Здесь радиальная функция f_El(r) может зависеть от энергии состоянияEи орбитального квантового числаl. Подставив гамильтониан (3) и функцию (6) в стационарное уравнение Шредингера, получаем

=

= Ef(r)Y(, ).

Отсюда получаем радиальное уравнение Шредингера

. (21.7)

Вместо радиальной функции f(r) часто бывает удобно искать функцию

R(r)=r f(r), (21.8)

которую также называют радиальной функцией. Найдем уравнение, которому она подчиняется.

==

Учитывая это равенство, радиальное уравнение Шредингера (7) приводим к виду

. (21.9)

Если ввести эффективный потенциал

U_l(r) =,

в котором второе слагаемое имеет смысл «центробежной» энергии, то легко увидеть сходство уравнения (9) с уравнением частицы в одномерном поле. Функция f(r) конечна приr= 0, поэтомуR(0) = 0. Координатная функция_Elm(r,,) нормирована условием

= 1, (21.10)

Сферическая функция Y_lm(,) нормирована условием (20.22). Поэтому для радиальных функций условия нормировки таковы:

= 1 или= 1. (21.11)

в) Каждое стационарное состояние с определенным значением орбитального числа lбудет (2l+1)-кратно вырождено, т.к. данному значениюlотвечает (2l+1) значений магнитного числаm:m=0,1,2…l.Кратность вырождения обозначимg_l= 2l+1. Состояния с определенным значениемlобычно обозначают латинскими буквами:

l	0	1	2	3	4	5	6
обозначение	s	p	d	f	g	h	i

г) Действие оператора инверсии на функцию сферических координат частицы определяется так:

(r,,) =(r,–,+). (21.12)

Оператор инверсии коммутирует с гамильтонианом (3): [] = 0. Его собственные значения или пространственную четностьPнаходим, воспользовавшись свойствами сферических функций:

.

Отсюда получаем P= (–1)^l(21.13)

д) Собственные значения энергии E, радиальные волновые функции, а с ними и характер движения частицы зависят от вида потенциальной энергииU(r) в уравнении (9).

Если U(r) > 0 при 0r, то связанные состояния отсутствуют, а энергия не квантуется.