- •Основные положения квантовой механики
- •1. Принцип квантования
- •2. Корпускулярно-волновой дуализм. Принцип неопределенности
- •3. Описание состояний. Волновая функция. Принцип суперпозиции
- •4. Описание наблюдаемых. Эрмитовы операторы. Собственные функции и собственные значения операторов
- •5. Средние значения наблюдаемых. Вероятности возможных значений
- •6. Операторы важнейших физических величин. Коммутаторы
- •7. Условия совместной измеримости наблюдаемых. Полный набор наблюдаемых
- •8. Соотношение неопределенностей Гейзенберга
- •9. Принцип причинности в квантовой механике. Уравнение Шредингера. Плотность потока вероятности
- •10. Изменение во времени средних значений наблюдаемых. Картины Шредингера и Гейзенберга. Уравнения Гейзенберга
- •11. Теоремы Эренфеста. Предельный переход к классической механике
- •12. Унитарные преобразования. Преобразования симметрии
- •13. Законы сохранения и их связь со свойствами симметрии пространства-времени
- •14. Преобразование инверсии. Пространственная четность
- •15. Стационарное уравнение Шредингера. Свойства стационарных состояний
- •Одномерное движение частицы
- •16. Свободное движение частицы
- •17. Потенциальные барьеры. Туннельный эффект
- •18. Линейный гармонический осциллятор
- •19*. Операторы рождения и уничтожения кванта для гармонического осциллятора. Когерентные состояния
- •Движение в центрально-симметричном поле
- •20. Собственные функции и собственные значения оператора орбитального момента
- •21. Общие свойства движения в центрально-симметричном поле
- •22. Движение частицы в сферической потенциальной яме. Сферический осциллятор
- •23. Движение в кулоновском поле. Энергетический спектр атома водорода
- •24. Волновые функции и квантовые числа атома водорода. Водородоподобные и ридберговские атомы
Движение в центрально-симметричном поле
20. Собственные функции и собственные значения оператора орбитального момента
Момент импульса частицы, связанный с его орбитальным движением, в отличие от собственного момента (спина) называют орбитальным моментом. Его оператор имеет вид
, (20.1)
где и– операторы координат и импульса частицы. С помощью операторов проекций его можно представить так:
. (20.2)
Операторы проекций орбитального момента ,ине коммутируют друг с другом, поэтому частица в данном состоянии может иметь определенное значение только одной из проекций орбитального момента. Но все они коммутируют с оператором квадрата орбитального момента:
. (20.3)
Следовательно, в определенном состоянии частица может принимать определенные значения квадрата орбитального момента и одной из его проекций. За таковую обычно принимают .
Собственные функции операторов иудобно искать в сферических координатах: радиальнойr, полярнойи азимутальной, которые связаны с декартовыми координатами соотношениями:
. (20.4)
z
y
x Рис. 20.1.
Напомним, что в сферической системе координат элемент объема выражается формулой
dV = r2 d = r2 dr sin d d,
где d=sindd– элемент телесного угла.
В сферических переменных оператор проекции орбитального момента имеет вид:
= –i, (20.5)
а оператор квадрата орбитального момента –
, (20.6)
где – угловая часть оператора Лапласа. (Вид операторовив сферических переменных можно найти в учебниках квантовой механики).
Легко убедиться в том, что имеет место соотношение [] = 0. Поэтому операторыиимеют общую систему собственных функций. Найдем собственные функции и собственные значения. Для этого решим уравнение
() = (), (20.7)
которое с учетом (5) принимает вид
–i() = (). (20.8)
Решение этого уравнения с разделяющимися переменными находится легко:
() =A. (20.9)
Эта функция должна удовлетворять условию однозначности
() =(+ 2). (20.10)
Подставив (9) в уравнение (10) получаем искомые собственные значения оператора проекции орбитального момента:
Lz=m, (20.11)
где m–магнитное квантовоечисло, принимающее целые значенияm= 0,1,2,3… Подставив с учетом (11) функцию (9) в условие нормировки:
, (20.12)
находим постоянную интегрирования А. В результате для нормированных собственных функций оператора проекции орбитального момента получаем выражение
. (20.13)
Уравнение для собственных функций и собственных значений оператора квадрата орбитального момента:
Y(,) =L2Y(,), (20.14)
с учетом выражения (6) можно записать в виде
Y(,) = – Y(,). (20.15)
Операторы икоммутируют, поэтому собственная функция операторасодержит в качестве множителя, зависящего от, собственную функцию оператора:
Y(,) =()() =(). (20.16)
Подставив в уравнение (15) получаем уравнение
() = 0. (20.17)
Это уравнение представляет собой обобщенное уравнение Лежандра(нужно лишь использовать замену переменной=cos). Оно имеет конечные решения только в том случае, когда собственные значения квадрата орбитального момента равны
L2=2l(l+ 1), (20.18)
где l–орбитальное квантовоечисло, принимающее значенияl= 0, 1, 2, 3, … Причем модуль магнитного числаmне может превышать значение орбитального числа:
m= 0,1,2,3, …l. (20.19)
Следовательно, данному значению квадрата орбитального момента L2соответствует 2l+ 1 значение проекции орбитального моментаLz.
Решения уравнения (17) выражаются через так называемые присоединенные полиномы Лежандра:
lm() =. (20.20)
Присоединенные полиномы Лежандра могут быть найдены с помощью формулы Родриго:
.
Имея в виду (13) и (16), получаем нормированные собственные функции оператора квадрата орбитального момента, называемые сферическими функциями:
Ylm(,) =, (20.21)
которые удовлетворяют условиям ортонормированности:
. (20.22)