18. Линейный гармонический осциллятор

Рассмотрим одномерные колебания частицы в поле квазиупругих сил с потенциалом

U(x) =. (18.1)

Такую систему называют линейным гармоническим осциллятором. Здесь m– масса, а– круговая частота осциллятора. Задача о движении квантового гармонического осциллятора является одной из немногих, которые удается решить точно, вместе с этим она чрезвычайно важна в квантовой оптике, физике твердого тела и др. разделах современной физики.

Гамильтониан гармонического осциллятора имеет вид

(18.2)

Чтобы найти энергии и волновые функции стационарных состояний, решим уравнение Шредингера

. (18.3)

Подставив сюда гамильтониан (2), получаем уравнение

(18.4)

Для решения этого дифференциального уравнения обычно переходят к безразмерным координатам

=x(18.5)

и безразмерной энергии = . (18.6)

Уравнение Шредингера (4) в безразмерных координатах и энергии имеет вид:

(18.7)

Из физического смысла задачи следует, что функция должна стремиться к нулю при стремлениик бесконечности:. Такое решение уравнения (7) будем искать в виде

() =. (18.8)

Подставив эту функцию в уравнение (7) получаем уравнение

= 0. (18.9)

Его решение будем искать в виде степенного ряда:

u() = . (18.10)

Производные ряда равны соответственно:

= = , (18.11)

= = . (18.12)

В (12) перенумеровали члены ряда, что не изменяет ряд. Подставив (10) – (12) в уравнение (9), получаем

= 0. (18.13)

Этот степенной ряд тождественно равен нулю только при условии равенства нулю всех его коэффициентов, когда

a_k+2=a_k. (18.14)

Из рекуррентного соотношения (14) видно, что существуют два независимых решения, соответствующих четным и нечетным значениям k:

u₁() = a₀ + a₂² + a₄⁴ + … , (18.15)

u₂() = a₁ + a₃³ + a₅⁵ + … (18.16)

При ряды (15) и (16) возрастают как, так как при большихkимеемa_k+22a_k/k. Но в этом случае, как видно из (8), функция() возрастает как, что невозможно. Следовательно, указанные ряды должны обрываться приk_max=n, то есть должны сводиться к полиномам. Тогда выполняется условие

2n+ 1 –= 0, (18.17)

где квантовое число n= 0, 1, 2, 3, ... Подставив (6) в (17), находим, что энергия осциллятора может принимать только дискретные значения:

. (18.18)

Соответствующие этим значениям энергии стационарные волновые функции безразмерных координат выражаются так:

, (18.19)

где C_n– нормировочный коэффициент,n– квантовые числа (n= 0, 1, 2, ...), аH_n() –полиномы Эрмита, которые можно найти по формуле

. (18.20)

Выпишем для примера несколько первых полиномов Эрмита:

H₀ = 1; H₁ = 2; H₂ = 4² – 2; H₃ = 8³ – 12; …

Если теперь с помощью формулы (5) вернуться к размерным величинам, то получим нормированные функции стационарных состояний в виде

(18.21)

Волновые функции стационарных состояний в безразмерных переменных для нижних состояний сn= 0, 1, 2 и 3 приведены на рис. 18.1.

а б

Рис. 18.1. Стационарные состояния гармонического осциллятора: а) волновые функции состояний; б) распределение вероятности.

Из формулы (18) следует, наименьшее значение энергии осциллятора, называемое нулевой энергией, равно

. (18.22)

Это означает, что у квантового осциллятора в отличие от классического нет состояния покоя.