a(0) |
b(0) |
x(1) |
x(2) |
|
) |
Рисунок 5.10
Якщо
Якщо
x ~ x(k )
L(k ) |
>ε , то |
k = k +1 |
і процес виключення інтервалів повторюється. |
|||
|
L(k ) |
|
≤ε , |
пошук |
закінчується, а точкою мінімуму вважають |
|
|
|
|||||
= arg min{f (x1(k ) ), f (x2(k ) )}.
На кожному кроці виключається 0,382 частини інтервалу. Одна з двох точок послідовно одержуваних інтервалів завжди співпадає з іншою точкою з пари точок попереднього інтервалу. Отже, на кожній ітерації (окрім першої) потрібно тільки одне обчислення значення функції. Якщо проведено n обчислень значення функції, то довжина одержаного інтервалу дорівнює L(k ) = (0,618)n−1 L(0) .
3 Алгоритм пошуку методом золотого перетину
3.1) |
Введення a(0) ,b(0) , f (x),ε –потрібна точність (абсолютна або відносна |
||||||
довжина кінцевого інтервалу невизначеності); |
|||||||
3.2) |
τ1 = |
|
2 |
|
|
;τ2 =1−τ1; |
|
( |
+ |
5 |
) |
||||
|
|
|
|||||
|
|
1 |
|
|
|||
3.3) |
x1(0) = a(0) |
+τ2 (b(0) −a(0) ); x2(0) = a(0) +τ1 (b(0) −a(0) ); |
|||||
3.4) |
F3 = f (x1(0) ), F 4 = f (x2(0) ); |
||||||
3.5) |
Друк a = a(k ) ,b = b(k ) - початковий і проміжні інтервали пошуку; |
||||||
|
|
|
|
|
|
41 |
|
3.6) Якщо F 4 ≥ F 3, то на 10;
3.7) |
a(k ) = x1(k ) ; x1(k ) = x2(k ) ; L(k ) = b(k ) −a(k ) ; F3 = F 4; x2(k ) = a(k ) +τ1L(k ) ; F 4 = f (x2(k ) ); – |
«відкидання» лівого підінтервалу (a(k ) ÷ x1(k ) ) та перенумерація точок; |
|
3.8) |
Якщо L(k ) >ε , то на 5; |
3.9) |
на 11; |
3.10) |
b(k ) = x2(k ) ; x2(k ) = x1(k ) ; L(k ) = b(k ) −a(k ) ; x1(k ) = a(k ) +τ2 L(k ) ; F 4 = F3; F3 = f (x1(k ) ); |
на 8; – «відкидання» правого підінтервалу та перенумерація точок; |
|
3.11) |
Друк x* = arg min{f (a(k ) ), f (b(k ) )}; f (x* ); |
3.12) |
Кінець. |
4 Завдання
4.1) Сформувати індивідуальну квадратичну функцію F5 виду:
F5 = x2 + ( p + q)x + pq
де p – перша ,а q – друга цифра в номері варіанту. Якщо номер варіанту менше 10, то p=0.
Дослідити квадратичну F5 та індивідуально задану функцію однієї змінної F6 , обрану за варіантом (табл. 5.1), наприклад, за допомогою Matlab, в приблизних межах [−10.0;10.0] .
x=-10:0.01:10; f=x.*x-1; plot(x,f); grid on;
Лістинг 5.1 – Графік функції однієї змінної
42
Таблиця 5.1 – Варіанти
Варіант |
Функція F(x) |
Варіант |
Функція F(x) |
|
|
|
|
|
|
1 |
F(x) = x(x −1)6 |
16 |
F(x) = (x −1)2 (x +1)3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
F(x) = x −0.5x3 |
17 |
F(x) = x +1/ x |
|
|
|
|
|
|
3 |
F(x) = cos4 x − x +3 |
18 |
F(x) = sin4 x + |
x |
|
|
|
|
|
4 |
F(x) = x(x2 +sin x) |
19 |
F(x) = x(x2 −1) |
|
|
|
|
|
|
5 |
F(x) = ex −0.33x3 + 2x |
20 |
F(x) = −e−x ln x |
|
|
|
|
|
|
6 |
F(x) = x2 / 2 −sin x |
21 |
F(x) = cos x /(x2 − 2) |
|
|
|
|
|
|
7 |
F(x) = 3x4 −3x3 |
22 |
F(x) = (1/ 3)x3 − x2 +1/ 3 |
|
|
|
|
|
|
8 |
F(x) = −2e3x−2 x 2 |
23 |
F(x) = e2 x+3x2 |
|
|
|
|
|
|
9 |
F(x) = 2x2 −ex |
24 |
F(x) = 2x2 +3e−x |
|
|
|
|
|
|
10 |
F(x) = − 20x − x2 + 0.01sin x |
25 |
F(x) =1/ x2 + 4 |
x |
|
|
|
|
|
11 |
F(x) = −x2 /(x2 −1) |
26 |
F(x) = x /(x2 +1); |
|
|
|
|
|
|
12 |
F(x) = x6 +3x2 −6x −1 |
27 |
F(x) = sin x4 + 6x2 +10 |
|
|
|
|
|
|
13 |
F(x) = sin x + cos x + 0.84x |
28 |
F(x) = (8x −0.1x4 ) /(1.1−sin x) |
|
|
|
|
|
|
14 |
F(x) = 6x3 − 2 |
29 |
F(x) =10xln(x +3) |
|
|
|
|
|
|
15 |
F(x) = x4 −14x3 + 60x2 −70x |
30 |
F(x) = 5x2 −8e4 x + 20x |
|
|
|
|
|
|
4.2) За допомогою графіків функцій, визначити початкові інтервали пошуку [a(0) ,b(0) ] , які містять мінімуми функцій (локальний або глобальний).
43
4.3) Скласти програму пошуку мінімуму функції однієї змінної методом золотого перетину. Результати розрахунку мінімуму двох функцій F5 та F6 з точністю ε =1e −3 зведені у таблицю (табл. 5.2):
Таблиця 5.2 – Результати пошуку мінімуму методом золотого перетину
Ітер |
Квадратична функція F5 |
Індивідуальна функція F6 |
||||
ація |
|
f (x) = x2 +... |
|
|
f (x) =... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Початок |
Кінець |
Довжина |
Початок |
Кінець |
Довжина |
|
інтервалу |
інтервалу |
L |
інтервалу |
інтервалу |
L |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Res |
x* = |
f (x* ) = |
|
x* = |
f (x* ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
4.4) Розрахувати значення мінімуму функцій F5 , F6 аналітично та порівняти з результатами п.4.3.
5 Зміст звіту
5.1) мета роботи;
5.2) варіант завдання;
5.3) короткі теоретичні відомості;
5.4) графіки функцій F5 та F6 в межах, що містять шуканий мінімум; 5.5) лістинг програми обчислення мінімумів функцій методом золотого перетину;
44