Гессе.

5 Контрольні запитання

5.1) Яка апроксимація ЦФ (лінійна або квадратична) використовується для отримання розрахункових співвідношень елементів матриці Гессе?

5.2) Що таке матриця Гессе ЦФ? Її властивості.

5.3) Використання матриці Гессе ЦФ при оптимізації.

5.4) Методи чисельного визначення матриці Гессе ЦФ.

20

5.5) Як впливає величина h на похибку обчислень другої похідної ЦФ? Порівняти з впливом на похибку обчислень першої похідної.

5.6) Що таке «квадратичність» поведінки ЦФ?

5.7) Як яружність (по рос. «овражность») ЦФ пов’язана з її матрицею Гессе?

21

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 3. ДОСЛІДЖЕННЯ ЦІЛЬОВОЇ ФУНКЦІЇ ЗА ДОПОМОГОЮ ЛІНІЙ

ОДНАКОВОГО РІВНЯ

1 Мета роботи

Побудова за допомогою ЕОМ та аналіз ліній однакового рівня цільової функції.

2 Короткі теоретичні відомості

Для аналізу поведінки f (x) іноді застосовують графічні методи

дослідження функції. В загальному випадку на цільову функцію накладені обмеження, що обумовлені параметрами технології виробництва, параметрами, що потрібно отримати від виробу, типовими значеннями складових частин та таке інше. У просторі рішень обмеження утворюють деяку допустиму область. Тому завжди цікаво, яка частина ЦФ належить до допустимої області та як ЦФ змінюється на цій ділянці.

Якщо розсікти f (x) площинами, паралельними площині змінних

{x1, x 2 } та перпендикулярними вісі значень ЦФ, то в кожній з цих площин буде одержано перетин функції f (x1, x2 ) , який відповідає її сталому значенню. Замкнена лінія, яка лежить у цій площині і обмежує перетин функції f (x1, x2 ) , зветься лінією однакового рівня, рівняння якої має вигляд f (x) = c = const. При різних значеннях c одержуємо сімейство таких ліній.

Іноді, по аналогії з топографічною термінологією такі лінії звуться ізолінії. Подібне зображення цільових функцій допомагає вивчати їх властивості і особливості, а також провадити порівняльний аналіз різних

алгоритмів оптимізації.

22

Лінії однакового рівня на площині параметрів {x1,x 2 } являють собою аналог топографічних ліній однакового рівня (наприклад, над рівнем моря) на географічній мапі. Саме тому топографічна термінологія використовується і при опису задач оптимізації, вважаючи, що лінії однакового рівня описують «рельєф» функції. До основних характерних точок ізоліній відносять:

-точки максимуму (локальні та глобальна), що відповідають «пагорбу» або «вершині»;

-точки мінімуму (локальні та глобальна), що відповідають «ямі»;

-сідельні точки, що відповідають «перевалу» або «сідловині»; Дослідження ЦФ за допомогою ліній рівня дозволяє:

-з’ясувати вид ЦФ (багато екстремальна, унімодальна, яружна тощо);

-обрати зручну початкову точку x(0) (від правильного вибору початкової точки залежить як швидкість отримання результату так і можливість отримання його взагалі);

-оцінити вплив окремих компонентів вектора x на поведінку ЦФ (в залежності від швидкості зміни окремих компонентів можна зробити висновок щодо доцільності їх включення до вектору варійованих параметрів);

-обрати зручний метод вирішення (в залежності від поведінки функції обрати один з градієнтних, квазіньютонівських методів або методів випадкового пошуку тощо).

Графічне представлення характерних точок за допомогою ліній рівня наведено на рисунках 3.1–3.3.

23