ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 4.
ДОСЛІДЖЕННЯ ЦІЛЬОВОЇ ФУНКЦІЇ ЗА ДОПОМОГОЮ ПОВЕРХОНЬ
1 Мета роботи
Аналіз властивостей цільових функцій за допомогою поверхонь.
2 Короткі теоретичні відомості
Аналогічно до аналізу властивостей ЦФ за допомогою ліній однакового рівня (див. ЛР №3) на практиці часто застосовують аналіз за допомогою поверхонь. В загальному випадку поверхня має n+1 вимір, де n - розмірність вектору x . Так як зобразити поверхню для n > 2 неможливо, то для таких випадків використовують аналіз по кожній парі {xi , x j } , де
i =1(1)n, j =1(1)n,i ≠ j .
Графічне представлення характерних точок за допомогою поверхонь наведено на рисунках 4.1–4.3.
Рисунок 4.1 – Поверхня «яма» |
Рисунок 4.2 – Поверхня «пагорб» |
28
[x1,x2]=meshgrid(-3:0.25:3,- 3:0.25:3); F=(x1.^2-x1-x2.^2); %F=x1.*exp(-x1.^2-x2.^2); xlabel({'x1'}); ylabel({'x2'}); zlabel({'F4'}); surf(x1,x2,F);
axis tight; title('F=(x1.^2-x1-x2.^2)'); view(35, 25);
%for gray picture %colormap gray
Рисунок 4.3 – Поверхня «сідловина» |
Лістинг 4.1 – Поверхні ЦФ |
3 Завдання
3.1) Сформувати індивідуальні функції F3 та F4, використовуючи систему нелінійних рівнянь з ЛР№1:
З системи нелінійних рівнянь
f |
|
(x |
,..., x |
n |
) = 0 |
1 |
1 |
|
|
||
....................... |
|||||
|
|
|
|
|
|
f |
n |
(x |
,..., x |
) = 0 |
|
|
1 |
n |
|
||
формується цільові функції, які мають вигляд:
F3(X ) = f 21(x1,..., x n )+....+ fn2 (x1,..., x n ) ,
F 4(Xr) = cos2 ( f 1(x1,..., xn )) +sin2 ( fn (x1,..., xn ));
або скористатися результатами п.3.1 ЛР №3.
29
3.2) За допомогою прикладних програм (наприклад, Matlab та лістингу 3.1) отримати та проаналізувати поверхні індивідуальних ЦФ F3 та F4 (наприклад, рис. 4.1–4.5). Побудову вести в межах −3 ≤ x1, x2 ≤ 3.
Рисунок 4.5 – Визначення |
Рисунок 4.6 – Визначення координат |
координат «пагорба» |
«яру» |
3.3) Виявити характерні точки цільової функції F4. Навести приклади координат особливих точок та елементів «рельєфу», зведені у таблицю:
Таблиця 4.1 – Особливі точки та елементи рельєфу
Елемент рельєфу |
F3 |
F4 |
|
|
|
Яма |
(x1,x2) |
(x1,x2) |
|
|
|
Пагорб |
(x1,x2) |
(x1,x2) |
|
|
|
Сідловина |
(x1,x2) |
(x1,x2) |
|
|
|
Хребет |
(x1,x2)-(x1,x2) |
(x1,x2)-(x1,x2) |
|
|
|
Яр |
(x1,x2)-(x1,x2) |
(x1,x2)-(x1,x2) |
|
|
|
Для визначення координат можна скористатися опцією «Data cursor» в Matlab (як, наприклад, на рис. 4.4–4.5).
30
3.4) Зробити висновки щодо використання поверхонь для аналізу властивостей ЦФ. Порівняти з аналізом за допомогою ліній однакового рівня.
4 Зміст звіту
4.1) мета роботи;
4.2) варіант завдання;
4.3) короткі теоретичні відомості;
4.4) зображення поверхонь для ЦФ F3 та F4;
4.5) координати особливих точок та елементів рельєфу (табл. 4.1); 4.6) висновки.
5 Контрольні запитання
5.1) Чим відрізняються локальний і глобальний екстремум?
5.2) Як формуються поверхні для ЦФ з n варійованими параметрами? 5.3) Що таке «сідловина» цільової функції?
5.4) Які властивості має матриця Гессе цільової функції в характерних точках (мінімумі, максимумі, сідловині)?
31