Lektsia_7
.pdf
|
|
Рис. 3 |
1. Нехай |
{ |
} обмежена додатно |
орієнтованим контуром – межею |
. |
|
|
|
∫ ∫ |
|
∫ |
∫[ ( |
) |
( |
)] |
∫ ∫
∫ |
∫ |
|
Отже, одержуємо
(5)
Аналогічно, якщо |
{ |
}: |
|
|
|
(6) |
|
|||
|
|
|
Віднімаючи від формули (6) формулу (5), одержимо формулу Гріна, яка пов’язує подвійний і криволінійний інтеграли:
( )
Умови незалежності криволінійного інтегралу від форми шляху
інтегрування |
|
|
|
Теорема 1. Нехай функції |
, |
|
визначені і неперервні |
разом із своїми частинними похідними |
і |
в деякій замкненій |
|
однозв’язній області . Тоді наступні чотири умови еквівалентні:
1) Для довільної замкненої гладкої кривої, що належить області :
|
(7) |
|
|
2) Для довільних двох точок та області значення інтеграла |
|
∫ |
(8) |
|
|
не залежить від форми шляху інтегрування, який лежить в області . |
|
3) Вираз |
є повним диференціалом функції, визначеної в |
|
області |
. Тобто існує така функція |
, визначене в області , що |
(9)
4) В усіх точках області виконується рівність
(10)
Інтегрування повних диференціалів. Первісна функція
Нехай функції |
, |
визначені і неперервні разом із своїми |
частинними похідними |
і |
в деякій замкненій однозв’язній області |
та їхні частинній похідні |
|
|
Зафіксуємо точку |
|
і розглянемо функцію |
∫ |
|
(11) |
Згідно з пунктом (3) теореми про незалежність криволінійного інтеграла від форми шляху інтегрування:
Означення. Диференційована функція |
визначена в |
області називається первісною для |
. |
Множина всіх первісних для |
: |
, де |
(12) |
∫
Якщо Тоді із (11), (12):
∫
Зокрема при |
: |
∫ |
(14) |
|
Формула Ньютона-Лейбніца для криволінійного інтегралу від повного диференціалу.
Ця формула справедлива лише за умови незалежності криволінійного інтеграла від шляху інтегрування.
Розглянемо спосіб знаходження первісної. Оскільки криволінійний інтеграл (13) не залежить від форми шляху інтегрування, то для
знаходження первісної |
досить було б обчислити цей інтеграл по |
|||
довільній лінії, яка сполучає |
точки |
( |
) |
Проте |
виявляється, що найзручніше інтегрувати по ломаній, яка сполучає точки і так , що сторони ломаної паралельні осям координат.
Обчислимо криволінійний інтеграл (13) від точки |
до точки по |
|
ломаній |
. |
|
∫ |
∫ |
(15) |
Аналогічно при інтегруванні по ломаній |
: |
|
∫ |
∫ |
(16) |
Приклад5. Обчислити
∫
y
B(2;1)
O(0;0) |
A(2;0) |
x |
Виконаємо інтегрування по ламаній |
: |