Lektsia_9
.pdfЛекція 9. Поверхневий інтеграл першого роду.
Нехай в точках деякої гладкої поверхні визначена обмежена функція ( ) ( ).(Поверхня називається гладкою, якщо в кожній її точці існує дотична площина і при переході від точки до точки положення цієї дотичної площини змінюється неперервно).
Рис. 1
Розіб’ємо поверхню на частини |
.Нехай |
- |
|
площа частини поверхні |
У кожній частині |
|
|
виберемо довільну точку |
( |
) і складемо |
|
суму |
|
|
|
∑ ( ) ( )
Цю суму називають інтегральною сумою для функції
( |
) по поверхні . |
|
|
Якщо при |
( ) |
інтегральна сума має скінченну границю, цю границю називають поверхневим інтегралом від функції ( ) по поверхні .
( |
) |
∑ ( |
) |
(2) |
Теорема.Якщо функція ( |
) неперервна на |
|
||
поверхні , то вона інтегровна.
Обчислення поверхневого інтеграла першого роду зводиться до обчислення подвійного інтеграла.
|
Нехай гладка поверхня |
, задана рівнянням |
|||
|
( |
), проектується на площину |
в область |
||
|
. В точках поверхні |
визначена обмежена функція |
|||
( |
). |
|
|
|
|
|
Нехай функція ( |
) |
неперервна на поверхні |
||
|
і функції |
( ) |
( ) |
( ) неперервні в |
|
області .
Розіб’ємо поверхню |
|
на частини |
|
. Тоді область |
|||||
розіб’ється на частини |
, які є відповідними |
||||||||
проекціями частин |
на площину |
|
. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
( |
) |
|
( |
) |
(3) |
||
Враховуючи (3) : |
|
|
|
|
|
|
|
||
∑ ( |
) |
|
∑ ( |
|
|
( |
|
)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4) |
√ |
( |
|
) |
( |
|
) |
|
||
|
|
|
|
||||||
Тому з (2) і (4):
( )
(5)
( ( ))√
Формула (5) виражає поверхневий інтеграл першого роду через подвійний інтеграл по проекції поверхні
на площину |
. |
|
Якщо поверхня задана рівнянням |
( ) або |
|
( ), тоді |
|
|
( )
( ( ) )√
( )
( ( ) )√
де |
та |
– проекції поверхні на координатні |
|
площини |
та |
. |
|
Застосування поверхневих інтегралів першого роду в геометрії.
Якщо у формулі (2) покласти ( ) на поверхні , тоді
де – площа поверхні .
Враховуючи (5):
√
Застосування поверхневих інтегралів першого роду в механіці.
Нехай на гладкій поверхні |
розподілено масу з |
|
поверхневою густиною |
( |
), тоді: |
а) маса матеріальної поверхні:
( )
б) координати центра маси поверхні:
де |
– статичні моменти поверхні |
|
відносно площин |
. |
|
в) моменти інерції поверхні відносно осей координат і початку координат:
( ) |
( ) |
( ) |
( |
) |
Приклад 1. Обчислити поверхневий інтеграл
( |
) по площині |
.
( )
√ ( ) ( )
√ √
( |
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
||||||
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
∫ ( |
) |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
∫ [(( |
) |
) | |
|
|
|
|
] |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
√ |
|
∫ |
* |
( |
)( |
) ( |
) |
|
+ |
|||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
||||||||||||
|
|
∫ * |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|||||||||||||
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ | |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
[ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
] √ |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Приклад 3. Обчислити поверхневий інтеграл
( )
по поверхні сфери |
( |
). |
||
|
|
|
|
|
|
√ |
|
||
√ ( |
|
|
) ( |
|
|
) |
√ |
|
√ |
|
|||
|
|
=√
( |
|
|
|
|
|
) |
|
√ |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
||||
∫ ∫ ( |
( |
|
|
|
) |
|
) |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
√ |
|
|
|
||
Приклад 2. Обчислити поверхневий інтеграл
( )
по частині поверхні конуса |
√ |
|
, вирізаної |
циліндром |
|
|
|
( )
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(√ |
|
|
) |
(√ |
|
) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
√ ( ( |
)√ |
) |
|
|
|||||||||
| |
|
|
|
| |
=√ |
|
∫ |
|
|
|
∫ |
( |
) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
∫ ( |
) = |
|||
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|