10. Основне рівняння дифракції рентгенівських променів. Рівняння Лауе

При рентгенографічному дослідженні аналізують інтерференційні картини, які утворюються в результаті розсіювання рентгенівських променів електронами атомів.

Розглянемо інтерференцію рентгенівських променів атомами, які розташовані у вигляді ланцюга.

Введемо спрощуючі передумови.

1. Будемо вважати, що атоми нерухомі.

2. Всі електрони атома зосереджені в узлі гратки.

Нехай на атоми, які розташовані ланцюгом , падає плоска хвиля монохроматичного випромінювання під кутом косинус якого дорівнюе. Розсіяні промені розходяться під кутом косинус якого дорівнює .

Одиничний вектор в напрямку падаючих променів позначимо , а одиничний вектор в напрямку розсіювання цих променів позначимо через .

вектор, це період розташування атомів вздовж ланцюга.

Умовою того, що розсіяні промені 1 і 2 в результаті інтерференції дадуть максимум є те, що оптична різниця ходу цих променів буде дорівнювати цілій кількості довжин хвиль, тобто Н, (Н- ціле число). Оптична різниця ходу променів 1 і 2 буде:

Рівняння (8.1) є умовою того, що розсіяні рентгенівські промені і результаті інтерференції дадуть максимум. Це і е перше рівняння Лаує

При проходженні рентгенівських променів через просторову гратку з осями вздовж яких періоди складають а косинус кутів між падаючим променем і осями складають а косинус кутів між розсіяним променем і осями то по аналогії з одновимірним випадком умовою максимуму в результаті інтерференції буде виконання одночасно рівнянь (8.1, 8.2, 8.3):

або скорочено:

Ці рівняння називаються рівняннями Лаує.

Їх можна записати в векторній формі:

де - вектор оберненої гратки;

різниця векторів ;

довжина хвилі.

.Доведемо, що формула (8.4) аналогічна формулам (8.1,8.2,8.3), для цього домножимо вектор оберненої гратки скалярно на

(8.5)

Домножимо рівняння (8.4) скалярно на і врахуемо результат (8.5)

(8.6)

Тобто

Ми отримали рівняння (8.1),тобто перше рівняння з системи рівнянь Лаує в скалярній формі. Якщо по черзі будемо помножати на і , то отримаємо відповідно рівняння (8.2) і (8.3). Таким чином ми довели, що рівняння Лаує еквівалентне трьом рівнянням Лаує в скалярній формі (8.1-8.3).

Покажемо, що з рівняння Лаує випливає рівняння Вульфа-Брегів.

Рис.24

Проведемо площину (НКL), яка ділить кут між векторами навпіл. Вектор буде перпендикулярним до цієї площини.оскільки з формули (8.4) випливає, що , тому площина буде мати індекси (НКL), таким чином площина перпендикулярна , а відповідно і . Оскільки відповідний вектор оберненої гратки завжди перпендикулярний площині прямої гратки з тими ж самими індексами (НКL).

Розглянемо рівняння (8.4) по абсолютній величині:

З малюнку (2.4) знайдемо:

Де  - кут між відбитим променем і площиною(HKL).

З визначення: (8.8)

З визначення:підставимо в формулу (8.4) значення з формули (8.7) та (8.8):

(8.9)

(8.10)

Таким чином ми довели, що рівняння Вульфа-Брегів витікае з рівняння Лаує.

.