4. Многокритериальная оптимизация в условиях определённости

При принятии решения в условиях определённости управляющей подсистеме или ЛПР известно состояние среды.

При этом каждый исход a  A обычно оценивают не одним числом (a), а набором критериев (f₁, …, f_k), то есть вектором.

Поэтому для многокритериальных задач математическая модель ЗПР в условиях определённости имеет следующий вид:

(A; f₁, …, f_k),

где A — множество допустимых исходов;

f_j — j – й критерий, т.е. числовая функция, заданная на множестве A;

k — число критериев;

f_j(a), a  A — оценка исхода a по j-му критерию, j = 1, …, k.

Критерии бывают позитивные и негативные. Критерий f_j называется позитивным, если ЛПР стремится к его увеличению, и негативным, если к уменьшению.

<позитив> = <-негатив>

Пусть D — множество векторных оценок. Оно состоит из всевозможных векторов d = (d₁, d₂, …, d_k).

Для любого a  D набор (f₁(a), f₂(a),…, f_k(a)) является векторной оценкой исхода a. Она содержит полную информацию о полезности этого исхода для ЛПР. Сравнение двух любых исходов заменяется сравнением их векторных оценок.

4.1. Отношение доминирования по Парето

Векторная оценка d = (d₁, d₂, …, d_k) доминирует по Парето векторную оценку d = (d₁, d₂, …, d_k) (d  d), если для любого j = 1, …, k имеет место

d_j  d_j и, по крайней мере, для одного индекса j неравенство является строгим.

Исход a₁ доминирует по Парето исход a₂ (a₁  a₂), если векторная оценка исхода a₁ доминирует по Парето векторную оценку исхода a₂.

Парето-оптимальность исхода a^* означает, что он не может быть улучшен ни по одному из критериев без ухудшения по какому-нибудь другому критерию.

Случай двух позитивных критериев f₁ и f₂ представлен на рисунке 4.1.

Парето-оптимальное множество М_п на рисунке 4.1 составляют исходы:

М_п = {4, 5, 7, 8}.

Если же оба критерия f₁ и f₂ негативны, то М_п = {1, 2}.

«Кандидатом» на оптимальное решение многокритериальной ЗПР может являться только парето-оптимальный исход.

Рисунок 4.1 – Случай двух критериев

Рассмотрим построение множества M_п на примере выбора места работы.

Пример. Требуется выбрать место работы из девяти вариантов, представленных в таблице 4.1. В качестве критериев выбраны следующие: З — зарплата (в рублях), Д — длительность отпуска (в днях), В — время поездки на работу (в минутах). Первые два критерия позитивные. Последний критерий является негативным. Он имеет характер потерь. Оценки по нему берутся со знаком «-».

Таблица 4.1 – Альтернативы
Альтер-нативы	Критерий
	З (руб.)	Д (дни)	В (мин.)
1	19000	20	-60
2	15000	30	-20
3	19000	36	-40
4	18000	40	-50
5	14000	60	-15
6	16000	30	-10
7	19000	38	-60
8	16000	24	-10
9	16500	36	-40

Выделим парето-оптимальное множество M_п. Имеют место следующие

отношения доминирования альтернатив:

3  9, 6  2, 6  8, 7  1.

Получим M_п = {3, 4, 5, 6, 7} (таблица 4.2):

Таблица 4.2 – Множество Мп
Альтер-нативы	Критерий
	З (руб.)	Д (дни)	В (мин.)
3	19000	36	-40
4	18000	40	-50
5	14000	60	-15
6	16000	30	-10
7	19000	38	-60