6.2. Критерий Вальда
Критерий основан на гипотезе антагонизма: «при выборе решения следует рассчитывать на самый худший возможный вариант».
Оценкой альтернативы
i
служит число
,
то есть минимальное число в строке.
Оптимальной является альтернатива, максимизирующая функцию W:
W(i*) = max min aij. (2)
i j
Альтернатива i* называется максиминной, а сам принцип оптимальности — принципом максимина.
Принцип максимина основан на максимизации минимального возможного выигрыша, поэтому его также называют принципом максимального гнарантированного результата. На практике его использование присуще крайне осторожным людям (пессимистам).
Главный недостаток принципа состоит в том, что учитывается только худший вариант. При сравнении альтернатив, приведённых в таблице 6.3, альтернатива 1 по принципу максимина более предпочтительна, чем альтернатива 2 — W(1)W(2). В то же время, за исключением одного состояния среды, альтернатива 2 доминирует альтернативу 1:W(2)W(1).
-
Таблица 6.3 – Критерий Вальда
1
2
3
4
5
W(i)
1
2
3
1
5
4
1
2
0
6
8
7
9
0
6.3. Критерий Гурвица
Оценкой альтернативы i является взвешенная сумма:
(3)
где — показатель пессимизма.
При = 1 критерий превращается в критерий «крайнего пессимизма», то есть в критерий Вальда. При = 0 — в критерий крайнего оптимизма.
Основной недостаток критерия — учёт только двух исходов (наихудшего и наилучшего) и неопределённость в назначении параметра .
6.4. Критерий Сэвиджа
Критерий основан на преобразовании первоначальной матрицы выигрышей (aij) в матрицу рисков (сожалений) (rij). Риском при выборе альтернативы i в состоянии j называется число
rij
= j
– aij,
где 
. (4)
rij — это «мера сожаления», возникающая от незнания истинного состояния среды. Если бы ЛПР знал истинное состояние среды, то он выбрал бы альтернативу, дающую максимальный выигрыш в состоянии j — max aij, вместо полученного им выигрыша aij.
Для критерия Сэвиджа оптимальной считается альтернатива, минимизирующая максимальный риск. Таким образом, для матрицы сожалений используется минимаксный критерий.
6.5. Выбор товара для производства
Рассмотрим ЗПР в условиях неопределённости на примере выбора товара для производства.
Пример. Фирма специализируется на выпуске товаров летнего ассортимента. Она может производить четыре вида товаров: A1, A2, A3 и A4, но для предстоящего летнего сезона ей надо выбрать для производства только один вид.
Прибыль фирмы зависит от многих факторов (состояние погоды в предстоящий летний период, аналогичный ассортимент товаров, выпускаемых конкурентами, цены на комплектующие и на транспортировку товара и т.д.). Эти факторы являются неопределёнными.
Предположим, что можно выделить четыре варианта сочетания данных факторов, которые выступают в качестве состояния среды: B1, B2, B3, B4. Матрица выигрышей приведена в таблице 6.4. Производство товара какого вида является оптимальным?
-
Таблица 6.4 – Матрица выигрышей
B1
B2
B3
B4
A1
7
5
1
10
A2
5
2
8
4
A3
1
3
4
12
A4
8
5
1
10
Критерий Лапласа
В соответствии с (1) находим оценки альтернатив.
L(A1) = (7 + 5 + 1 + 10)/4 = 23/4 = 5.75
L(A2) = (5 + 2 + 8 + 4)/4 = 19/4 = 4.75
L(A3) = (1 + 3 + 4 + 12)/4 = 20/4 = 5.0
L(A4) = (8 + 5 + 1 + 10)/4 = 24/4 = 6.0
Получим таблицу 6.5:
-
Таблица 6.5 – Критерий Лапласа
Ai
L(Ai)
A1
5.75
A2
4.75
A3
5.0
A4
6.0
max(5.75, 4.75, 5.0, 6.0) = 6.0
Оптимальной является альтернатива A4.
Критерий Вальда
В соответствии с (2) находим оценки альтернатив.
W(A1) = min(7, 5, 1, 10) = 1 W(A2) = min(5, 2, 8, 4) = 2
W(A3) = min(1, 3, 4, 12) = 1 W(A4) = min(8, 5, 1, 10) = 1
Получим таблицу 6.6:
-
Таблица 6.6 – Критерий Вальда
Ai
W(Ai)
A1
1
A2
2
A3
1
A4
1
max(1, 2, 1, 1) = 2
Оптимальной является альтернатива 2.
Критерий Гурвица
Возьмем в качестве «показателя пессимизма» значение = ½.
Тогда в соответствии с (3) получим следующие оценки альтернатив:
H1/2(A1) = ½ּ1 + (1 - ½) 10 = 11/2 = 5.5
H1/2(A2) = ½ּ2 + (1 - ½) 8 = 10/2 = 5.0
H1/2(A3) = ½ּ1 + (1 - ½) 12 = 13/2 = 6.5
H1/2(A4) = ½ּ1 + (1 - ½) 10 = 11/2 = 5.5
Получим таблицу 6.7:
-
Таблица 6.7 – Критерий Гурвица
Ai
H1/2(Ai)
A1
5.5
A2
5.0
A3
6.5
A4
5.5
max(5.5, 5.0, 6.5, 5.5) = 6.5. Оптимальной является альтернатива A3.