1. Необходимые сведения из дискретной математики и теории измерений

1.1. Множества и векторы

Множество является базовым понятием математики. Его не определяют, но говорят, что «множество состоит из элементов».

То что множество A состоит из элементов a, b, c, записывается следующим образом: А = {a, b, c}.

Множество следует отличать от совокупности объектов.

Основным свойством множества является то, что каждый элемент множества уникален, то есть может быть включён в него только один раз.

По этому свойству А = {a, b, c} является множеством, а

B = {a, a, a, b, c, c} — совокупностью объектов.

Например, если Вы купили в магазине 4 яблока, 3 груши и 2 апельсина, то в множество купленных Вами фруктов входят одно яблоко, одна груша и один апельсин.

Вторым отличительным свойством множества является то, что в нём не существует никакого заранее заданного упорядочения элементов.

По этому свойству в множестве А = {a, b, c} элемент b  A не является по отношению к элементу а  А ни следующим, ни предыдущим.

Отсюда следует, что {a, b, c} = {b, c, a}.

Например, если у Вас в кармане лежат десятирублёвая денежная купюра, пятидесятирублёвая и сторублёвая, то понятно, что порядок, в котором они сложены, не существенен.

Под кортежом или вектором понимают упорядоченный набор элементов: (a₁, a₂, …, a_n). Вектор, как и множество, не определяется.

Элементы, образующие вектор, называются его координатами или компонентами.

Координаты нумеруются слева направо. Число координат называется длиной или размерностью вектора. В отличие от множества координаты вектора могут совпадать. Вектор заключают в угловые или круглые скобки.

Пример.

₁ = < a, b, c > ₂ = (a, a, b, c, a, c)

В векторе ₁ координата a стоит на первом месте, координата b — на втором и координата c — на третьем. В векторе ₂ элементы a и c повторяются.

Вектор является аналогом одномерного массива в программировании.

Два вектора (a₁, a₂, …, a_n) и (b₁, b₂, …, b_n) равны, если они имеют одинаковую длину и равны их соответствующие координаты, то есть, если

a₁ = b₁, a₂ = b₂, … a_n = b_n.

Векторы могут сравниваться по предпочтению.

Пусть компонентами векторов a = (a₁, a₂, …, a_n) и b = (b₁, b₂, …, b_n) являются числа.

Вектор a доминирует, вектор b (a  b), если компоненты вектора a не меньше соответствующих компонентов вектора b и одно из неравенств является строгим.

То есть: a  b, если a₁  b₁, a₂  b₂, …, a_n  b_n. И, например, a_k > b_k, k  n.

Пример. A = (3, 4, 1, 2) b = (2, 2, 1, 2) c = (1, 1, 2, 1)

Вектор a доминирует вектор b (a  b), так как 3 > 2, 4 > 2, 1  1, 2  2.

Вектора a и c являются не сравнимыми по предпочтению, так как 3 > 1, 4 > 1, 2 > 1, но 1 < 2.

Полученное множество М_п = {a, c} наилучших вариантов называют областью компромиссов или множеством парето-оптимальных решений.

Оценивание по Парето позволяет исключить неконкурентоспособные варианты.

Декартовым произведением множеств (A  B) A и B называется множество всех возможных (различающихся) векторов (a, b), где a  A, b  B.

Пример. A = {a, b} B = {1, 2, 3} C = {a, 2}

A  B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)}

A  C = {(a, a), (a, 2), (b, a), (b, 2)}

В векторе (a, a) декартова произведения A  C элемент a, стоящий на первом месте, принадлежит множеству A; элемент a, стоящий на втором месте, принадлежит множеству B.

Мощность декартова произведения равна произведению мощностей этих множеств.

A  B = A  B

Так как AиB, то A  B = 2  3 = 6.

Декартово произведение часто встречается в нашей жизни. Например, пусть множество A = {a, b, c, d, e, f, g, h}, а множество

B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.

Тогда множество А  В = {(a, 1), (a, 2), …, (h, 8)} представляет собой обозначения полей шахматной доски.