7.2. Выбор варианта производимого товара

Пример. Фирма может выпускать продукцию одного из следующих шести видов товаров: зонтики (З), куртки (К), плащи (П), сумки (С), туфли (Т), шляпы (Ш). Глава фирмы должен решить, какой из этих видов продукции выпускать в течение предстоящего летнего сезона. Прибыль фирмы определяется таблицей выигрышей (таблица 7.2) и зависит от того, каким будет лето — дождливым, жарким или умеренным. Какой товар будет оптимальным для производства?

Если о состоянии среды нет дополнительной информации, то это будет выбор в условиях неопределённости. Пусть имеются статистические данные о состоянии погоды для данной местности. Предположим, что вероятность дождливого, жаркого и умеренного лета равна 0.2, 0.5 и 0.3.

Тогда ЗПР в условиях риска имеет вид:

Таблица 7.2 – Матрица выигрышей
	Д 0.2	Ж 0.5	У 0.3
З	80	60	40
К	70	40	80
П	70	50	60
С	50	50	70
Т	75	50	50
Ш	35	75	60

Найдем ожидаемые выигрыши альтернатив З, К, П, С, Т, Ш:

М_З = 80*0.2 + 60*0.5 + 40*0.3 = 58

М_К = 70*0.2 + 40*0.5 + 80*0.3 = 58

М_П = 70*0.2 + 50*0.5 + 60*0.3 = 57

М_C = 50*0.2 + 50*0.5 + 70*0.3 = 56

М_T = 75*0.2 + 50*0.5 + 50*0.3 = 55

М_Ш = 35*0.2 + 75*0.5 + 60*0.3 = 62.5

Определим дисперсии случайных величин _З, _К, _П, _С, _Т, _Ш по формуле D = M² – (M)²:

D_З = 80²*0.2 + 60²*0.5 + 40²*0.3 - 58² = 196

D_K = 70²*0.2 + 40²*0.5 + 80²*0.3 - 58² = 336

D_П = 70²*0.2 + 50²*0.5 + 60²*0.3 - 57² = 61

D_С = 50²*0.2 + 50²*0.5 + 70²*0.3 - 56² = 84

D_Т = 75²*0.2 + 50²*0.5 + 50²*0.3 - 55² = 100

D_Ш = 35²*0.2 + 75²*0.5 + 60²*0.3 – 62.5² = 231.5

Определим среднеквадратичные отклонения случайных величин:

σ_З = = 14.0 σ_К = 18.3 σ_П = 7.8

σ_С = 9.2 σ_Т = = 10.0 σ_Ш = 15.2

Таблица значений критериев М и σ для каждой альтернативы имеет вид (таблица 7.3):

Таблица 7.3 – Значения критериев
	М	σ
З	58	14.0
К	58	18.3
П	57	7.8
С	56	9.2
Т	55	10.0
Ш	62.5	15.2

Представим рассматриваемые альтернативы точками на координатной плоскости (рисунок 7.1):

Рисунок 7.1 - Выбор парето-оптимального множества

Из рисунке 7.1 следует, что З  К, П  С, П  Т.

Поэтому парето-оптимальное множество М_п = {З, П, Ш}.

Сужение М_П может быть произведено только за счёт дополнительной информации о соотношений критериев М и σ.

Найдем оптимальное решение с помощью обобщённого критерия

q (M, ) = M - λ.

После построения М_П, получим:

q_З = 58 – 14λ q_П = 57 – 7.8λ q_Ш = 62.5 – 15.2λ

Для ранжирования М_П = {З, П, Ш} найдем нижнюю и верхнюю границы меры несклонности к риску и:

= min (0.16, 3.8, 0.74) = 0.16 =max (0.16, 3.8, 0.74) = 3.8

Интервал (0, +) разбился на три интервала (рисунок 7.2):

(0; 0.16) — зона малой несклонности к риску (зона малой осторожности);

[0.16; 3.8] — зона неопределённости;

(3.8; +) — зона большой несклонности к риску (зона большой осторожности).

Рисунок 7.2 - Границы риска для ЛПР

1. Если ЛПР выберет λ в пределах 0 ≤ λ ≤ 0.16, то ранжирование М_п имеет вид: Ш ЗП и оптимальной будет альтернатива Ш.

Действительно, пусть, например, λ = 0.05.

q_З = 58 – 14*0.05 = 58 – 0.7 = 57.3

q_П = 57 - 7.8*0.05 = 57 – 0.39 = 56.61

q_Ш = 62.5 – 15.2*0.05 = 62.5 – 0.76 = 61.74

Ш > З > П

2. Пусть λ > 3.8. Тогда ранжирование М_П будет иметь вид: П ЗШ и оптимальной будет альтернатива П.

Действительно, пусть, например, λ = 4.

q_З = 58 – 14*4 = 58 – 56 = 2

q_П = 57 - 7.8*4 = 57 – 31.2 = 25.8

q_Ш = 62.5 – 15.2*4 = 62.5 – 60.8 = 1.7

П > З > Ш

3. Если ЛПР выберет λ в зоне неопределённости, то, например, при

λ = 2 получим:

q_З = 58 – 14*2 = 58 – 28 = 30

q_П = 57 - 7.8*2 = 57 – 15.6 = 41.4

q_Ш = 62.5 – 15.2*2 = 62.5 – 30.4 = 32.1

Получили ранжирование: П ШЗ и оптимальной будет альтернатива П.