Свойства отношений

Пусть R – бинарное отношение на множестве X и R  X X.

Рефлексивность

Отношение R называется рефлексивным, если для любого x  X имеет место xRx.

Н

апример, отношение R = « = » является рефлексивным. Отношение

R = «  » также является рефлексивным. У рефлексивного отношения единицы находятся на главной диагонали.

Графически рефлексивное отношение может быть задано как

Отношение R называется антирефлексивным, если для любого x X не имеет места xRx.

На главной диагонали матрицы антирефлексивного отношения содержатся только нули.

Отношение может быть ни рефлексивным, ни антирефлексивным.

Симметричность

Отношение R называется симметричным, если при выполнении xRy выполняется и yRx, то есть справедливо: xRy  yRx.

Матрица C для такого отношения симметрична относительно главной диагонали.

Графически симметричное отношение может быть задано как

Например, симметричными будут отношения R = «x и y имеют общий делитель, отличный от единицы», R = «быть знакомым».

Отношение R называется антисимметричным, если из того, что выполняется xRy и yRx, следует x = y.

Отношение может быть ни симметричным, ни антисимметричным.

Транзитивность

Отношение R называется транзитивным, если из того, что выполняется xRy и yRz, следует xRz, то есть справедливо: xRy и yRz  xRz.

В матрице C транзитивного отношения для каждой пары единичных элементов, один из которых расположен в строке с номером x и столбце с номером y, а другой – в строке с номером y и столбце с номером z, обязательно существует единичный элемент в строке с номером x и столбце с номером z.

Графически транзитивное отношение может быть задано как

Например, транзитивным будет отношение R = «  ».

Если у отношения R выполняются все три свойства рефлексивноcть, симметричность и транзитивность, то такое отношение называется отношением эквивалентности.

Привлекательной особенностью отношения эквивалентности является то обстоятельство, что внутри каждого класса объекты обладают сходными свойствами. Поэтому для характеризации всего множества объектов достаточно исследовать по одному представителю из каждого класса.

1.3. Шкалы измерений

Измерение— это алгоритмическая операция, которая данному наблюдаемому состоянию объекта ставит в соответствие определённое обозначение: число, номер или символ.

Множество обозначений, используемых для регистрации состояний наблюдаемого объекта, называется измерительной шкалой.

Выделяют три основных атрибута измерительных шкал, наличие или отсутствие которых определяет принадлежность шкалы к той или иной категории.

1. Упорядоченностьданных означает, что один пункт шкалы, соответствующий измеряемому свойству, больше, меньше или равен другому пункту.

2. Интервальностьпунктов шкалы означает, что интервал между любой парой чисел, соответствующих измеряемым свойствам, больше, меньше или равен интервалу между другой парой чисел.

3. Нулевая точка(точка отсчёта) означает, что набор чисел, соответствующих измеряемым свойствам, имеет точку отсчёта, обозначаемую за ноль, что соответствует полному отсутствию измеряемого свойства.

Измерительные шкалы в зависимости от допустимых на них операций различаются по силе.

Шкалы измерений могут быть подразделены на качественныешкалы иколичественные.

Качественные шкалы — это шкалы наименований и порядка. Это наиболее слабые шкалы.

Шкала наименований

Используется для описания принадлежности объектов определённым классам. При этом объект должен иметь конечное число различимых состояний (классов эквивалентности). Всем объектам одного и того же класса присваивается одно и то же число, а объектам разных классов — разные числа.

В связи с этим шкалу наименований часто называют шкалой классификации. Измерение в этой шкале состоит в том, что определяется принадлежность результата тому или иному классу эквивалентности.

Шкала используется для индексации номенклатуры изделий, специальностей в ВУЗе, нумерации подразделений в организации и т.п. Например, шкала наименований специальностей факультета телекоммуникаций УрТИСИ имеет восемь классов эквивалентности: АЕ, ВЕ, ИТЕ, МЕ, ОЕ, РЕ, СЕ, ТЕ.

Здесь отсутствуют все главные атрибуты измерительных шкал: упорядоченность, интервальность, нулевая точка. Это самая слабая шкала. При обработке экспериментальных данных в этой шкале можно выполнять лишь операции их совпадения или несовпадения.

Шкала порядка

Порядковые или ранговые шкалы позволяют не только отождествить состояние объекта с одним из классов эквивалентности, но и сравнивать различные классы по предпочтительности. Эта шкала широко используется при экспертном оценивании для упорядочения объектов. Если классу A сопоставить число 3, а классу B — число 5, то числа в этой шкале говорят о том, что объект B предпочтительнее объекта A, но не говорят во сколько раз.

Примеры других порядковых шкал: шкала Бофорта для оценки силы ветра в баллах, шкала твёрдости минералов, шкала Рихтера классификации землетрясений.

В качественных шкалах имеет место упорядоченность, но отсутствуют интервальность и нулевая точка.

Количественные шкалы делятся на шкалы интервалов, отношений и абсолютную шкалу.

Шкала интервалов

Шкала применяется, когда упорядочивание значений измерений можно выполнить настолько точно, что известны интервалы между любыми двумя из них (рисунок 1.1).

Рисунок 1.1 – Шкала интервалов

В шкале интервалов присутствуют упорядоченность и интервальность, но нет нулевой точки. Шкалы имеют произвольные начала отсчёта. Связь между показаниями в таких шкалах является линейной:

y = ax + b, где a > 0, - < b < +.

Для этой шкалы справедливо следующее свойство:

x1 – x2	=	y1 – y2	=Const.
x3 – x4		y3 – y4

В этой шкале только интервалы имеют смысл настоящих чисел. Только над интервалами следует выполнять арифметические операции.

Шкала интервалов применяется для отображения величины различия между свойствами объекта. Например, шкала измерения времени в часах, шкала измерения температуры в градусах Цельсия или Фаренгейта, шкала измерения длины в метрах, шкала измерения мощности двигателя автомобиля в лошадиных силах.

Мы можем сказать, что объект A тяжелее объекта B на два килограмма. Но мы не можем сказать, во сколько раз объект A тяжелее объекта B, так как в шкале интервалов нет точки отсчёта.

Шкала отношений

В шкале отношений присутствуют все атрибуты измерительных шкал: упорядоченность, интервальность, нулевая точка. С измеряемыми величинами можно выполнять любые арифметические действия (рисунок 1.2).

Рисунок 1.2 – Шкала отношений

Связь между показаниями в таких шкалах имеет вид:

y = ax, где a  0.

В шкале отношений числа отражают отношения свойств объектов, то есть во сколько раз свойство одного объекта превосходит это же свойство другого объекта. Эта шкала может использоваться для измерения длины, массы, веса, стоимости и т. п.

В шкале отношений остаётся свобода в выборе единиц измерения. Например, вес объекта мы можем измерять и в граммах, и в килограммах, и в тоннах.

Абсолютная шкала

В отличие от шкалы отношений, абсолютная шкала имеет единичный масштаб. В качестве шкальных значений обычно используют натуральные числа.

Это может быть, например, числовая ось и область применения — подсчёт количества объектов с помощью натуральных чисел 1, 2, …, n.