01 КАСЮК С. Т. ПЕРВИЧНЫЙ, КЛАСТЕРНЫЙ, РЕГРЕССИОННЫЙ И ДИСКРИМИНАНТНЫЙ АНАЛИЗ ДАННЫХ СПОРТИВНОЙ МЕДИЦИНЫ НА КОМПЬЮТЕРЕ

Определить информативность теста. Какой результат в прыжке сможет показать спортсмен, если при отталкивании разовьет усилие в 540 кг и какое усилие он должен развить, чтобы прыгнуть на 8,00 м (при р = 95%)?

Вариант 21. У конькобежцев на 500 м измерили результаты соревновательного упражнения (X, с) и статическую выносливость мышц-разгибателей бедра, измеряемую как время удержания 50% усилия до первых признаков утомления

показать, чтобы пробежать 500 м за 39,0 с и какой результат может показать спортсмен в беге на коньках, если в тесте будет показан результат 30 с (при

р = 95%)?

Вариант 22. У толкателей ядра измерили результаты соревновательных упражнений (X, м) и приседания со штангой на плечах (Y, кг) [7]:

Определить информативность теста. Какой результат в соревновательном упражнении может показать спортсмен, если он присядет со штангой весом 190 кг и с каким весом он должен приседать, чтобы толкнуть ядро на 17,00 м (при

р = 95%)?

Вариант 23. У прыгунов в длину измерили результат соревновательного упражнения (X, м) и бега на 100 м (Y, с) [7]:

Определить информативность теста. Какой результат в беге на 100 м необходимо иметь, чтобы прыгнуть на 8,00 м и какой результат в соревновательном упражнении покажет прыгун, если он пробежит 100 м за 10,5 с (при р = 95%)?

Вариант 24. У баскетболистов измерили результаты бега в защитной стойке спиной вперед на 20 м (X, с) и обычного бега на 20 м (Y, с) [7]:

20 м необходимо иметь, чтобы в защитной стойке пробежать 20 м за 4,5 с и какой результат в беге в защитной стойке покажет баскетболист если «гладкие» 20 м он пробежит за 2,7 с (при р = 95%)?

Вариант 25. У бегунов на 1500 м измерили результаты соревновательного упражнения (X, с) и максимального потребления кислорода (МПК) (Y, мл /кг/ мин)

Определить информативность теста. Какие МПК должен иметь бегун, чтобы пробежать 1500 м за 225 с (3 мин. 45 сек.) и какой результат в беге может быть показан, если МПК составляет 72 мл /кг/мин (при р = 95%)?

3.10. Варианты заданий для проведения множественного регрессионного анализа в пакете STATISTICA 10

Для всех вариантов заданий провести следующий анализ:

1 Проверить гипотезу о нормальности распределения переменных по критерию Колмогорова–Смирнова. В случае необходимости осуществить преобразование переменных.

2 Определить зависимость между переменными с помощью регрессионного анализа.

3 Проверить адекватность полученный моделей по F-критерию Фишера. Проверить значимость коэффициентов регрессии.

4 Построить гистограмму остатков. Проверить гипотезу о нормальности распределения остатков по критерию Колмогорова–Смирнова.

5 Выявить значимые наблюдения по расстоянию Махаланобиса

(Mahalanobis Distance) и удаленным остаткам (Deleted Residual).

102

Таблица 3.4 – Вариант 1

103

Таблица 3.5 – Вариант 2

104

Таблица 3.6 – Вариант 3

Таблица 3.7 – Вариант 4

Таблица 3.8 – Вариант 5

4 ДИСКРИМАНАНТНЫЙ АНАЛИЗ ДАННЫХ

4.1 Постановка задачи дискриминантного анализа

Цель дискриминантного анализа состоит в том, чтобы на основе измерения различных характеристик (признаков, параметров) объекта классифицировать его, то есть отнести к одной из нескольких групп (классов) некоторым оптимальным способом. Под оптимальным способом понимается либо минимум математического ожидания потерь, либо минимум вероятности ложной классификации [11].

Дискриминантный анализ является одним из методов многомерного статистического анализа, поскольку измеряется несколько параметров объекта, например, давление, состав крови, температура и так далее. Так, в спортивной медицине объектом исследования является спортсмен, когда по результатам измерений различных параметров, проведения диагностических тестов врач определяет степень подготовки спортсмена к участию в соревнованиях.

Математическая постановка задачи. Предположим, имеется n объектов с m

характеристиками. В результате измерений каждый объект характеризуется вектором х1, ... хm, m > 1. Задача состоит в том, чтобы по результатам измерений отнести объект к одной из нескольких групп (классов) G1,..., Gk, k ≥ 2. Иными словами, нужно построить решающее правило, позволяющее по результатам измерений параметров объекта указать группу, к которой он принадлежит. Число групп заранее известно, также известно, что объект заведомо принадлежит к определенной группе [1].

Пусть X – пространство значений вектора измерений. Решающее правило называется нерандомизированным, если пространство X разбито на k непересекающихся областей; при попадании измерения параметров объекта в k-ю область объект относится к k-й группе. Решающее правило называется рандомизированным, если для каждого вектора наблюдений х задана вероятность pi(x), с которой объект принадлежит i-й группе, pi(x) ≥ 0, p1(x) + ... + pk(x) = 1, i = 1, ..., k.

Очевидно, при использовании решающего правила возникают потери, вызванные тем, что объект неправильно классифицирован – отнесен к классу i, когда в действительности он принадлежит классу j (i j).

Если можно измерить убыток r(i, j) при неправильной классификации объекта, то вводят средние потери, к которым приводит применение данного правила, и пытаются найти правило, минимизирующее эти средние потери.

Если значение потерь трудно оценить численно, то при построении оптимального правила используют критерий минимальной вероятности ложной классификации.

В дискриминантном анализе можно задать априорные вероятности принадлежности объекта к определенному классу. На практике эти вероятности оцениваются из массива экспериментальных данных [1].

108

Дискриминантный анализ «работает» при выполнении следующих

предположений и ограничений [1]:

1 Нормальное распределение. Предполагается, что анализируемые переменные – измеряемые характеристики объекта – представляют выборку из многомерного нормального распределения.

2 Однородность дисперсий и ковариаций. Предполагается, что дисперсии и ковариации наблюдаемых переменных в разных классах однородны.

Умеренные отклонения от данных предположений допустимы.

4.2 Алгоритм проверки возможности проведения дискриминантного анализа

В литературе [3] приводится следующий алгоритм проверки возможности проведения дискриминантного анализа:

1 Проверить, создана ли выборка в интервальных шкалах или шкалах отношений, имеют ли признаки нормальное распределение.

2 Проверить, разделена ли выборка на конечное число (не менее двух) непересекающихся классов, известна ли для каждого объекта вероятность принадлежности к какому-то классу.

3 Проверить отсутствие корреляции между переменными с помощью корреляционной матрицы. При наличии зависимости между средними по совокупностям дисперсиями или стандартными отклонениями (мультиколлинеарности) не существует однозначной меры относительной важности переменных.

4 В каждом классе должно быть не менее двух объектов из обучающей выборки, а число дискриминантных переменных не должно превосходить объем обучающей выборки за вычетом двух объектов.

4.3 Основные методы проведения дискриминантного анализа

Основные методы проведения дискриминантного анализа, реализованные в большинстве статистических пакетов следующие [3]:

1)линейный дискриминантный анализ Фишера;

2)канонический дискриминантный анализ (максимального правдоподобия, или вероятностный);

3)методы, связанные с расстояниями;

4)пошаговый дискриминантный анализ.

классификационными функциями (ЛКФ) Фишера. Строятся k линейных функций

109

классификации, предназначенных для определения того, к какой группе наиболее вероятно может быть отнесен каждый объект. Количество функций классификации равно количеству классов или групп. Для каждого объекта и для каждой совокупности вычисляются значения ЛФК по следующей формуле (44):

dmk = аk + bk1x1k + b2x2k + ... + bnxnk, (44)

или dmk = ak + bki xmi ,

m = 1, ..., n; k = l, ..., g,

где k – обозначает соответствующую группу; g – количество групп; m – номер объекта; bki – коэффициенты, которые называют весами для i-й переменной при вычислении показателя классификации для k-й совокупности; dmk – значение ЛКФ для m-то объекта в группе k (показатель классификации); ak – свободный член уравнения; xmj – наблюдаемое значение i-й переменной для соответствующего m-то объекта в группе k.

Наблюдение приписывают к той группе, для которой классификационная функция имеет максимальное значение.

Канонический дискриминантный метод относит объект к классу k, если соответствующая апостериорная вероятность этой принадлежности максимальна. Применяемые в этом методе линейные дискриминантные функции часто называют каноническими (КЛДФ). Данный анализ проводится по схеме, обратной первому виду анализа. Здесь разделение объектов ведется по минимальным значениям дискриминирующей функции. Объект относится к определенному классу только тогда, когда Евклидово расстояние от центра кластера до оцениваемого показателя минимально [3].

Каноническая линейная дискриминантная функция имеет следующий вид (45):

Dmk = ak+ b1x1 + b2x2 + … + bnxn, m = 1, ..., n; k = 1, …, g, (45)

– значение канонической дискриминантной функции для m-го объекта в группе k; ak – свободный член уравнения; xmi – наблюдаемое значение i-й переменной для соответствующего m-го объекта в группе k; g – количество групп; bki – коэффициенты, которые оценивают с помощью дискриминантного анализа.

После того, как проведена оценка статистической значимости каждой канонической дискриминантной функции и определено, какие из них вносят наибольший вклад в дискриминацию, рассчитывают значения этих функций для каждого объекта (наблюдения). Наименьшее из значений применяют для классификации. Его сравнивают со средними значениями расстояний до центроидов каждой группы. Объект принадлежит к той группе, расстояние до которой наилучшим образом совпадает с рассчитанным значением КЛДФ [3].

В случае применения по умолчанию методов максимального правдаподобия используют два набора оценок [3]:

1 Априорные вероятности принадлежности к классу можно рассматривать как решающее правило, применяемое в том случае, когда нет никакой

110