7. Жазықтықтың теңдеулерінің түрлері. Нүктеден жазықтыққа дейінгі арақашықтық. Екі жазықтықтың арасындағы бұрыш.

Жазықтықтың теңдеулерінің түрлері

Жазықтықта жататын кез-келген 2 коллиниар емес вектор оның бағыттауыш векторлары деп аталады. Жазықтықтың теңдеуін жазу үшін 3 нәрсе к/к.: 1нүкте ж/е 2 бағыттауыш вектор.

жазықтық

, бағыттауыш вектор

,бағыттауыш вектор,

, параллель емес векторлар

- ағымдағы нүкте

-=

(, )- базис

;

-

= - жазықтықтың векторлық, параметрлік теңдеуі

(2) жазықтықтың координаттық, параметр-к теңдеуі.

компланар векторлар болуы қажетті және жеткілікті

(, )=0

=0 (3)

Жазықтықтың жалпы теңдеуі

Теорема: 1) Аффин координат-р жүйесінде кез-келген жазықтықтың теңдеуі кеңістікте бірнеше дәрежелі теңдеумен жазылады.

(4)

2) Кез келген (4) түрдегі теңдеу кеңістікте жазықтықты анықтайды.

Д/у: 1)дәлелдеу үшін (3) пен (4) тің байланысын табу керек.

(3) =>(4) (3)ті 1-қатар бойынша жіктейміз.

=0

=А =В =С

=> Ax+By+Cz+D=0;

2) (4)=>(3) (4) => ал (4) 1 дербес.

Шешімі => (5).

(4)-(5)= (6)

=

(7).

(6)=(7)=>(3) теорема дәлелденді.

Салдары 1. (4) түрлі теңдеу жазықтықтың жалпы теңдеуі д.а.

Салдары 2. (6) теңдеу

(6)= (,) = 0;

Декарт координаттар жүйесінде (А,В,С) – жазықтықтың нормаль векторы д.а.

Үш нүкте арқылы жазылған жазықтықтың теңдеуі.

бір түзудің бойында жатпайды.

(3)

= 0 (8)

Кесінділер арқылы берілген жазықтықтың теңдеуі

(4)/ -D

(9)

= a; = b;= c.

1) x=0 y=0 z=c

2) x=0 z=0 y=b

3) y=0 z=0 x=a

Екі жазықтықтың орналасуы және арасындағы бұрыш.

1)

2)

3)

Екі жазықтықтың арасындағы бұрыш –ол нормаль-р-ң арасындағы бұрыш.

Нүктелердін жазықтыққа дейінгі арақашықтығы.

Ax+By+C+D=0;

d-? (арақашықтық)

M(x,y,z)

d=== =

8. Екінші ретті қисықтардың канондық теңдеулері. Эллипс пен гиперболаның эксцентриситеттері мен директрисалары.

Жоғары математикада екінші дәрежелі теңдеулермен анықталатын сызықтарды екінші pеттi қисықтар деп атайды. Олар негізінен шеңбер, эллипс, гипербола және парабола деп аталады. Бұл қисықтар техника мен ғылым саласында иі кездеседі.

1. Шеңбер. Шеңбердеп аталатын берілген нүктеден бірдей қашықтықта жататын жазықтықтағы нүктелердің геометриялық орындарын шенбер деп атайды.

С(х₀,у₀) - берілген нукте. Шеңбердің бойынан кез келген

жылжымалы М(х,у) нүктесін алайык. Сонда СМ(х -х₀,у-у₀),

мұндағы F₁ және F₂ -фокус деп аталатын берілген центрі С нуктесінде жаткан радиусы R -ге тең шеңбердің канондық теңдеуі.

Егер шеңбердің центрі С координаттардың бас нүктесінде жатса, онда х₀ = у₀ = 0 .

Сондықтан: х² +у² = R²

2. Эллипс. Фокустар деп аталатын берілген екі нүктеден қашықтықтарының қосындысы әрқашанда тұрақты шама болатын жазықтықтағы нүктелердің геометриялық орындарын эллипс деп атайды. Анықтама бойынша F₁M + F₂M = 2a

нүктелер,

М{х, у) – эллипстің бойындағы кез келген жылжымалы нүкте,

2а-тұрақты шама

Егер F₁F₂ = 2с десек, онда F₁(-C;0), F₂(C;0). Сонда:

Енді осы мәндерді қойсақ:

немесе

Егер а>с болса, онда а² —с²=b² болады. Сондықтан эллипстің канондық теңдеуі деп аталатын теңдеуге келеміз:

Мұндағы х пен у эллипстің кез келген жылжымалы нүктесінің координаттары, а – эллипстің үлкен жарты oci, b – онын кіші жарты oci.

Осьтер эллипске симметриялы, ал симметриялы осьтердің қиылысатын нүктесі эллипстің цeнтpi болады.

қатынасын эллипстің эксцентриситеті деп атайды және оны деп белгілейді. Сонымен 6ipгe а > с болғандьқтан l < 1 немесе

Эллипстің үлкен осіне перпендикуляр түзулердің ішінде 6ip түзудің эллипстің кіші осінен қашықтықты d әрқашанда а/l қатынасына тең тұрақты шама болса, онда мұндай түзуді эллипстің директрисасы деп атайды. Директрисалардың тендеу . Эллипс үшін l < 1 болғандьқтан .

Сондықтан эллипстің директрисалары оның сыртында жатады.

Егер a=b болса, онда шеңбер эллипстің дерпбес жағдайы болады. Бұл жағдайда с=0, ендеше шеңбердің эксцентриситеті нөлге тең.

3. Гипербола. Фокустар деп аталатын берілген екі нүктеден қашықтықтарының айырмасы әрқашанда тұрақты шама болатын жазықтықтағы нүктелердің геометриялық орындарын гипербола деп атайды.

4. Парабола. Фокус деп аталатын берілген нүктеден және директриса деп аталатын берілген түзуден ара қашықтықтары бірдей болатын жазықтықтарды нүктелерің геометриялык орындарын парабола дейді Берілген F нүктесінің координаталарын былай белгілейді

Координаталардың бас нүктесінен Р/2 қашықтықтағы ординат осіне параллель берілген түзуді параболаның директрисасы дейді.

М(х,у) - параболаның бойындағы кез келген жылжымалы нүкте.

Анықтама бойынша

FM=ME

Екі нүктенің ара қашықтығыньң формуласы бойынша

осы мәндерді апарып қойып, шыққан өрнекті түрлендірсек, параболаның канондық теңдеуі шығады:

у²=2рх

мұндагы р -берілген фокус пен директрисаның арасындағы қашықтық, х пен у - параболаның бойындағы кез келген жылжымалы нуктенің координатасы.

Параболаның эксцентриситеті:

Параболаның директрисасының теңдеуі: