2. Векторлық кеңістіктің аксиомалары. Векторлар жүйесінің сызықты тәуелділігі мен тәуелсіздігі. Сызықтық тәуелділіктің қасиеттері.

Анықтама. Элементтері n координаттан тұратын векторлар болатын кеңістікті n-өлшемді кеңістік деп атаймыз, егер келесі аксиомалар орындалса:

1. a+b=b+a;

2. (a+b)+c=a+(b+c);

3. ;

4. , c=-a;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

Анықтама. a₁, a₂,…, a_k векторлары немесе векторлар жүйесі берілсін

l₁, l₂, …, l_n сандар l₁* a₁+ l₂* a₂+…+ l_n* a_n=b, онда b векторы a₁, a₂,…, a_k векторының сызықтық комбинациясы деп аталады.

Анықтама. a₁, a₂,…, a_k векторлар жүйесі сызықтық тәуелді деп аталады, егер олардың нөлдік сызықтық комбинациясында (сызықтық комбинация нолге тең) ең болмаса бір коэффициент нолден өзгеше болса.

Анықтама. a₁, a₂,…, a_k векторлар жүйесі сызықтық тәуелcіз деп аталады, егер олардың нөлдік сызықтық комбинациясында (сызықтық комбинация нолге тең) барлық коэффициент нолге тең болса.

Сызықты тәуелділіктің қасиеттері:

1. Егер векторлар жүйесінде a₁, a₂,…, a_k ең болмаса бір вектор нолдік болса, онда бұл жүйе сызықты тәуелді болады.

2. Егер векторлар жүйесінде a₁, a₂,…, a_k екі тең вектор бар болса, онда бұл жүйе сызықты тәуелді болады.

3. Егер сызықты тәуелді жүйеге бірнеше вектор қоссақ, онда жаңа жүйе сызықты тәуелді болады.

4. Егер сызықты тәуелсіз жүйеден бірнеше вектор алсақ, онда жаңа жүйе тәуелсіз болады.

a₁, a₂,…, a_k сызықты тәуелді болуы үшін, оның ең болмаса бір векторы қалғандары арқылы өрнектелуі қажетті және жеткілікті.

3. Көпмүшеліктердің бөлінгіштік қасиеттері. Көпмүшеліктердің ең үлкен ортақ бөлгіші. Ең үлкен ортақ бөлгішті табудың Евклид алгоритмі.

Анықтама. a₀, a₁,…, a_n R болғанда

f(x)= a₀xⁿ+ a₁x^n-1+…+a_n-1x+a_n көпмүшелігі n-дәрежелі бір айнымалы көпмүшелік деп аталады.

Мұндағы

a₀, a₁,…, a_n - коффициенттер,

a₀ - бас коэффициент,

a_n - бос мүшесі.

Бөлінгіштік қасиеттері:

1⁰ f/g, g/h => f/һ (g көпмүшелігі f көпмүшелігіне бөлінсе және h көпмүшелігі g көпмүшелігіне бөлінсе, онда h көпмүшелігі f көпмүшілігіне бөлінеді)

2⁰ f/g, f/h => f/(g+h)

3⁰ f/g₁, f/g₂, ..., f/g_k, h₁ … h_kR => f/( h₁ g₁+ … +h_k g_k)

4⁰ f/g, g/f => f=g

5⁰ f/g, h=> f/gh

Ең үлкен ортақ бөлгіш

Мыс:

1⁰ ЕҮОБ(f,g)= ЕҮОБ(g,f)

2⁰ ЕҮОБ(f, ЕҮОБ(g,h))= ЕҮОБ(ЕҮОБ(f,g),h)

3⁰ ЕҮОБ(f,g)=g  g/f

4⁰ ЕҮОБ(f,0)=f

5⁰ ЕҮОБ(hf,hg)=h ЕҮОБ(f,g)

F,g Көпмүшеліктерінің ең үлкен ортақ бөлгіші (ЕҮОБ) деп, келесі екі шартты қанағаттандыратын d көпмүшесін айтамыз:

1) d/f, d/g, яғни d көпмүшесі f пен g-дің ортақ бөлгіші

2) h көпмүшесі үшін, егер h/f және h/g болса, онда h/d яғни f пен g-дің барлық ортақ бөлгіштерінің арасында d көпмүшесі ең «үлкені» болады. Бұл жерде көпмүшенің «үлкен кіші» қатыстығы олардың бірі екіншісіне қалдықсыз бөлінуіне байланысты «үлкен» бөлінетіні, ал бөлінетіні «кіші» рөлдерін атқарады. Екі көпмүше бір біріне бөлінбеуіне де мүмкін, ондай көпмүшеліктерді осы қатыстық бойынша, әрине, салыстыра алмаймыз.

А) Егер d көпмүшесі f пен g-дің ЕҮОБ, ал 0, R болса онда d көпмүшесі де f пен g-дің ЕҮОБ болады.

Б) Егер d₁, d₂ көпмүшелері екеуі де f пен g-дің ЕҮОБ болса, онда нолден өзгеше бір R үшін d₁=d₂ теңдігі орындалады.

ЕҮОБ(f,g) арқылы f пен g көпмүшеліктерінің ең үлкен ортақ бөлгіштер жиынын белгілейміз

ЕҮОБ табудың Евклид алгоритмі

f,gR және g0 болсын. Көпмүшеліктерді қалдықпен бөлу алгоритмін біртіндеп қолданайық, онда

f=g*q₁+r₁, deg r₁< deg g

g=r₁*q₂+r₂, deg r₂<deg r₁

r₁=r₂*q₃+r₃, deg r₃<deg r₂

r₂=r₃*q₄+r₄, deg r₄<deg r₃

көпмүшенің дәрежелері қабылдайтын мән мына сандар … n, n-1, …, 2,1,0,-, ал қалдықтарының дәрежелері кемімелі , deg r₁>deg r₂ >deg r₃>deg r₄

ендеше бір k саны үшін deg r_k>-, ал deg r_k-1=- ,

демек, r_k-2=r_k-1*q_k+r_k, deg r_k<deg r_k-1, r_k0

r_k-1=r_k*q_k+1, r_k+1=0

осы қатынастар орындалғанда алгоритімді тоқтатамыз. Бұл алгоритм Евклид алгоритмі деген атпен белгілі