- •Министерство науки и образования российской федерации
- •Раздел 1. Применение математического анализа и алгебры
- •Тема 1.1. Математические методы в маркетинге 13
- •Тема 1.2. Балансовые модели 49
- •Раздел 2. Экономико-математические методы
- •Тема 2.1. Моделирование задач принятия решений 64
- •Тема 2.2. Линейное программирование 77
- •Тема 2.3. Задачи транспортного типа 105
- •Тема 2.4. Математические основы управления проектами 131
- •Тема 2.5. Математические методы логистики 163
- •Тема 2.6. Задачи массового обслуживания 177
- •Тема 2.7. Состязательные задачи 196
- •Тема 2.8. Динамическое программирование 236
- •Тема 2.9. Многокритериальная оптимизация 268
- •Введение
- •Раздел 1. Применение математического анализа и алгебры
- •Тема 1.1. Математические методы в маркетинге
- •1.1.1. Основы моделирования спроса и потребления.
- •1.1.2. Коэффициенты эластичности спроса по цене: практическое значение, оценивание, свойства.
- •1.1.3. Функции спроса, уравнение Слуцкого
- •1.1.4. Производственные функции.
- •1.1.5. Функции выпуска продукции; функции затрат ресурсов.
- •1.1.6. Экономические примеры производственной деятельности фирм.
- •Пример 5. Предположим, что необходимо оценить работу некоторой отрасли, если известен объем производства отрасли y, затраты трудовых ресурсов l и объем используемого капитала к:
- •Исходя из теоретических знаний можем предположить, что зависимость объема производства от труда и капитала описывается пф Кобба-Дугласа .
- •Задания и задачи
- •1.1.8. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Тема 1.2. Балансовые модели
- •1.2.1. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики
- •1.2.2. Модель равновесных цен
- •1.2.3. Модель международной торговли.
- •1.2.4. Практический блок Пример
- •Контрольные вопросы
- •Задания и задачи
- •1.2.5. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Раздел 2. Экономико-математические методы
- •Тема 2.1. Моделирование задач принятия решений
- •2.1.1. Этапы математического моделирования.
- •2.1.2. Основные понятия математического моделирования.
- •2.1.3. Основные типы экономических моделей
- •2.1.4. Практический блок Пример 1
- •Контрольные вопросы
- •Что представляют собой ограничения экстремальной задачи?
- •Что представляет собой целевая функция экстремальной задачи.
- •Приведите примеры экономико-математических моделей.
- •2.1.5. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Тема 2.2. Линейное программирование
- •2.2.1. Моделирование задачи оптимизации производства методами линейного программирования.
- •2.2.2. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования.
- •2.2.3. Общая задача линейного программирования.
- •2.2.4. Устойчивость оптимального решения.
- •2.2.5. Обьективно-обусловленные оценки.
- •2.2.6. Двойственная задача линейного программирования.
- •2.2.7. Применение основной задачи линейного программирования к решению некоторых экономических задач
- •1. Задача использования ресурсов.
- •2. Задача оптимального использования удобрений.
- •3. Задача составления диеты.
- •4. Задача об использовании мощностей (задача о загрузке оборудования)
- •5. Задача о раскрое материалов.
- •2.2.8. Практический блок Пример
- •2. Графическое решение системы и определение оптимальных объемов производства.
- •5. Объективно обусловленные оценки ресурсов
- •6. Устойчивость решения при изменении удельной прибыли.
- •8. Объективно-обусловленные оценки ресурсов показывают:
- •Контрольные вопросы
- •Задания и задачи
- •2.2.9. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Тема 2.3. Задачи транспортного типа
- •2.3.1. Экономико-математическая модель транспортной задачи.
- •2.3.2. Исходный опорный план.
- •2.3.3. Распределительный метод решения транспортной задачи.
- •2.3.5. Вырожденные случаи. Открытая транспортная задача.
- •2.3.6. Практический блок Пример
- •1. Математическая модель.
- •2. Получение начального (опорного) плана методом северо-западного угла
- •3. Итерации по улучшению плана до получения оптимального решения.
- •Контрольные вопросы
- •Задания и задачи
- •2.3.7. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Тема 2.4. Математические основы сетевого моделирования
- •2.4.1. Построение сетевых графиков.
- •2.4.2. Временные параметры сетевого графика
- •2.4.3. Методы оптимизации сетевого графика
- •2.4.4. Организационные аспекты применения сетевых моделей
- •2.4.5. Практический блок Примеры
- •1. Построение сетевых графиков, согласно заданному порядку предшествования работ.
- •8. Критическое время это:
- •Контрольные вопросы
- •Задания и задачи
- •2.4.6. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Тема 2.5. Математические методы логистики
- •2.5.1. Экономическое содержание задач управления запасами.
- •2.5.2. Детерминированная статическая модель без дефицита.
- •2.5.3. Детерминированная статическая модель с дефицитом.
- •2.5.4. Простая вероятностная модель.
- •2.5.5. Практический блок Примеры
- •1. Детерминированная статическая модель без дефицита.
- •2. Детерминированная статическая модель с дефицитом.
- •3. Вероятностная модель
- •Контрольные вопросы
- •Задания и задачи
- •2.5.6. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Тема 2.6. Задачи массового обслуживания
- •2.6.1. Общие понятия теории очередей.
- •2.6.2. Одноканальные системы массового обслуживания.
- •2.6.3. Многоканальные системы массового обслуживания.
- •2.6.4. Прикладные аспекты теории массового обслуживания.
- •2.6.5. Практический блок Примеры
- •1. Одноканальная система обслуживания с неограниченной очередью
- •2. Одноканальная система обслуживания с ограниченной очередью.
- •3. Многоканальная система обслуживания с неограниченной очередью.
- •Контрольные воросы
- •Задания и задачи
- •2.6.6. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Тема 2.7. Состязательные задачи
- •2.7.1. Основные понятия теории игр.
- •2.7.3. Игры с природой
- •2.7.4. Биматричные игры
- •2.7.5. Понятие коалиционных игр.
- •2.7.6. Практический блок Примеры
- •Пример 2
- •Контрольные вопросы
- •Задания и задачи
- •2.7.7. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Тема 2.8. Динамическое программирование
- •2.8.1. Область применения моделей динамического программирования.
- •2.8.2. Основные идеи динамического программирования.
- •2.8.3. Распределение q средств между n предприятиями.
- •2.8.4. Динамическая задача управления запасами.
- •2.8.5. Стохастическое динамическое программирование.
- •2.8.6. Задачи износа и замены оборудования
- •2.8.7. Практический блок Пример 1
- •Контрольные вопросы
- •Задания и задачи
- •2.8.8. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •2.9. Многокритериальная оптимизация.
- •2.9.1. Понятие многокритериальности.
- •2.9.2. Оптимальность по Парето.
- •2.9.3. Метод идеальной точки.
- •Заданы две целевые функции
- •2.9.4. Принятие решений на основе метода анализа иерархий
- •2.9.5. Общая классификация эвристических методов решения многокритериальных задач
- •2.9.6. Практический блок Пример 1
- •Пример 2
- •Контрольные вопросы
- •Задания и задачи
- •2.9.7. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •1. Математические методы в маркетинге
- •2. Исследование производственных функций
- •Вопросы для подготовки к зачету
- •Итоговые тесты
- •Список рекомендуемой литературы
- •Предметный указатель
2.3.7. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
Постановка, экономическая значимость и условия существования решения транспортной задачи.
Методы решения транспортной задачи.
Область применения транспортной задачи.
Литература для самостоятельной работы
Вентцель Е.С. Исследование операций: Задачи, принципы, методология. –М.: Высшая школа, 2005. – 208 с.
Афанасьев М.Ю., Суворов Б.И. Исследование операций в экономике: модели, задачи, решения: Учеб.пособие. – М.: ИНФРА-М, 2003. – 444с.
Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических систем: Учебное пособие. –2-е изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2006. – 368с.
Моделирование экономических процессов: Учебник для студентов вузов, обучающихся по специальностям экономики и управления (060000) / Под ред. М.В. Грачёвой, Л.Н. Фадеевой, Ю.И. Черемных. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. –351 с.
Шелобаев С.И. Математические методы и модели в экономике, финансах, бизнесе: Учеб. пособие для вузов. –2‑е изд. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. –287 с.
Экономико-математические методы и прикладные модели: Учебное пособие для вузов / Под ред. В.В. Федосеева. –2‑е изд. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. –304 с.
Тема 2.4. Математические основы сетевого моделирования
2.4.1. ПОСТРОЕНИЕ СЕТЕВЫХ ГРАФИКОВ 131
2.4.2. ВРЕМЕННЫЕ ПАРАМЕТРЫ СЕТЕВОГО ГРАФИКА 135
2.4.3. МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ СЕТЕВОГО ГРАФИКА 141
2.4.4. ОРГАНИЗАЦИОННЫЕ АСПЕКТЫ ПРИМЕНЕНИЯ СЕТЕВЫХ МОДЕЛЕЙ 143
2.4.5. ПРАКТИЧЕСКИЙ БЛОК 145
2.4.6. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ 162
2.4.1. Построение сетевых графиков.
Методы сетевого моделирования применяются при планировании и управлении разработкой крупных народнохозяйственных комплексов, научными исследованиями, конструкторской и технологической подготовкой производства, освоения новых видов изделий, строительством и реконструкцией, капитальным ремонтом основных фондов. Сетевое моделирование основано на применении так называемой сетевой модели комплекса взаимосвязанных работ, направленных на достижение определенной цели.
Первые системы, использующие сетевые модели, были применены в США в конце 50-х годов и получили названия СРМ (английская аббревиатура метода критического пути) и РЕRT(метод оценки и обзора программы). Система СРМ была впервые применена при управлении строительными работами, метод РЕRT – при разработке ракетных систем “Поларис”.
В России работы по сетевому планированию начались в 60-х годах. Тогда эти методы нашли применение в строительстве и научных разработках. В дальнейшем сетевые методы стали широко применяться и в других областях народного хозяйства.
Система сетевого планирования и управления позволяет:
а) формировать календарный план реализации некоторого комплекса работ;
б) выявлять и мобилизовывать резервы времени, трудовые, материальные и денежные ресурсы;
в) осуществлять управление комплексом работ с прогнозированием и предупреждением возможных срывов в ходе работ;
г) повышать эффективность управления в целом при четком распределении ответственности между руководителями разных уровней и исполнителями работ.
Диапазон применения методов сетевого планирования и управления весьма широк: от задач, касающихся деятельности отдельных лиц, до проектов, в которых участвуют сотни организаций и десятки тысяч людей.
Для того чтобы составить план работ по осуществлению больших и сложных проектов, состоящих из тысяч отдельных исследований и операций, необходимо описать его с помощью математической модели. Таким средством описания проектов (комплексов работ) и является сетевая модель.
Сетевая модель содержит информацию о параметрах работ и их логической взаимосвязи. Основу логической взаимосвязи работ составляют:
а) технологическая зависимость работ,
в) ресурсные зависимости.
Графическое изображение сетевой модели будем называть сетевым графиком.
Сетевой график состоит из двух основных элементов:
дуг (стрелок) и вершин
Вершины Дуги
(события) (работы)
Рис. 2.4.1
Дуги графика обычно задают работы; вершины, которые какие-либо дуги соединяют, называют событиями.
Дуга (стрелка) используется для отображения:
а) действительной работы,
б) работы-ожидания,
в) фиктивной работы.
Под действительной работой будем понимать процесс, требующий для своего осуществления затрат времени и ресурсов (например, возведение фундаментов, монтаж каркаса и т.п.).
Под работой-ожиданием будем понимать процесс, требующий для своего осуществления затрат времени, но не требующий затрат ресурсов (например, твердение бетона, охлаждение цементной печи т.п.).
Фиктивная работа используется для отображения взаимосвязи между событиями.
Событие отображает результат одной или совокупный результат нескольких работ, представляющий возможность начать одну или несколько непосредственно следующих (из данного события) работ.
Если работа отображается дугой, примыкающей к некоторому событию своим концом, то такая работа называется входящей в данное событие.
Рис. 2.4.2. Входящие работы
Если работа отображается дугой, примыкающей к некоторому событию своим началом, то такая работа называется выходящей из данного события.
Рис. 2.4.3. Выходящие работы
Событие считается свершившимся, если окончены все входящие в него работы. Работы, выходящие из события, могут быть начаты только после свершения данного события. Таким образом, работы, входящие в событие, должны быть выполнены ранее работ, выходящих из этого события. Событие, за которым непосредственно следует работа (из которого работа выходит) называется начальным событием данной работы. Событие, которому работа непосредственно предшествует, называется конечным событием данной работы.
Топологией сетевого графика называется его структура, определяющая взаимозависимость событий и работ. События кодируются числами. При правильной кодировке код начального события должен быть меньше кода конечного события. Работы обозначаются с помощью кодов начального и конечного событий. Если начальное событие имеет код i, а конечное событие код j, то работу, их связывающую, будем обозначать (i,j).
Правила построения сетевого графика
Условимся знаком обозначать предшествование работ друг другу, т.е. запись А В означает, что работа А должна быть завершена до начала работы В.
1. Если работы А и В предшествуют работе С (А, В С), то это изображается следующим образом:
А
С
В
2. Если А, В С и В Д, то изображение
А С А С
Е
В Д В Д
неправильно правильно
В правильном фрагменте используется фиктивная работа Е. Поскольку на работу Е не затрачиваются ни время, ни ресурсы, заданные отношения упорядочения выполняются.
3. Если для начала работ А и В необходимо свершение события i, а окончание работ А и В необходимо для свершения события j, то такая ситуация изображается так:
А А Е
В
В
неправильно правильно
Любые два события должны быть непосредственно связаны не более чем одной работой (стрелкой).Такой способ изображения вводится для того, чтобы работы А и В различались при обозначении с помощью кодов начального и конечного события. Работу А обозначим тогда (i,l), а работу В – (i,j). Работа Е– ( l,j) – фиктивная.
4. Если для начала работы В достаточно выполнить только часть работы А, то эта ситуация изображается
А В А1 А2
В
неправильно правильно
т.е. работа А разбивается на две части (работы) А1 и А2, где А1та часть работы А, после которой можно начинать работу В.
5. Если результат работы В нужен не к началу работы А, а к некоторому промежуточному моменту, то это изображается так:
В А А1 А2
В
неправильно правильно
6. В сетевом графике не должно быть замкнутых контуров (циклов, петель), т.е. путей, соединяющих некоторые события посредством стрелок с ними же самими.
7. В сетевом графике может быть только одно событие, которому не предшествует ни одна работа. Это событие назовем исходным. Исходное событие отражает необходимые условия для начала выполнения всего комплекса работ.
8. В сетевом графике может быть только одно событие, из которого не выходит ни одна работа. Это событие назовем завершающим. Завершающее событие отражает конечную цель выполнения всего комплекса работ.
В последующем будут рассмотрены случаи, когда требование единственности исходного и завершающего событий необязательно.
Кроме выше приведенных примеров фиктивные работы (или события) могут вводиться и в ряде других случаев, например, для отражения зависимости событий, не связанных с реальными работами. На сетевом графике такие фиктивные работы (связи) показываются пунктирными стрелками. Кроме того, фиктивные работы могут вводиться для отражения реальных отсрочек и ожидания.