§ 121. Исследование формы параболы.

Так как ордината в каноническое уравнение параболы входит во второй степени, то осьявляется осью симметрии параболы.

Определение. Точка пересечения параболы с её осью симметрии называется вершиной параболы. Парабола (1) имеет только одну вершину .

Из уравнения следует, что(т.к., а). Разрешая уравнениеотносительнои беря длялишь неотрицательное значение, видим, что в полуинтервале- возрастающая функция, причём.

Всякая прямая пересекает параболу не более чем в двух точках (т.к. прямая определяется уравнением первой степени, а парабола - второй. Проведённое исследование даёт представление о форме параболы (См. рис. 177).

Рис. 177

Замечание. Уравнение , гдесводится к уравнениюзаменойна, т.е. путём преобразования системы координат, которое соответствует изменению положительного направления осина противоположное.

Отсюда следует, что парабола симметрична с параболойотносительно оси(См. рис.178). Аналогичными рассуждениями устанавливаем, чтокаждое из уравнений:;(2) гдеопределяет параболу с вершиной в начале координат и осью симметрии(См. рис. 179, 180).

Рис. 179

Уравнение (2) пишут часто в виде, разрешённом относительно ординаты :, где; ().

§ 123. Касательная к параболе.

В курсе математического анализа доказывается, что если функция в точкеимеет производную, то уравнение касательной к линии, выражаемой уравнениемв точке, гдеимеет вид:. Теперь, если парабола задана уравнением,, то уравнение касательной к ней в точкебудет иметь вид:. Раскрываем скобки:, и, т.к., откуда, тоили(3)

Полагая в уравнении (3) , находим точку, пересечения касательной к параболе (3) с её осью симметрии.

Отсюда вытекает следующий способ построения касательной к параболе в данной точке . Опускаем из точкиперпендикулярна ось симметрии параболы и откладываем на оси симметрии параболы отрезок(См. рис.). Прямаяи будет касательной к параболе в точке.

§ 124. Оптическое свойство параболы.

 Теорема 1. Касательная к параболе является биссектрисой угла между фокальным радиусомточки касания и перпендикуляром, опущенным из точки касания на директрису.

 

Рис. 183. Рис. 184.

Доказательство. Имеем (См. рис. 184): ,. Но,. Следо-вательно:, т.е.. Поэтому треугольникравнобедренный и, значит:; но; следовательно. Что и требовалось доказать.

Эта теорема имеет следующее оптическое истолкование: если в фокусе параболического зеркала поместить источник света, то лучи, отразившись от зеркала, образуют пучок параллельных лучей. Указанное свойство параболического зеркала применяется при устройстве зеркальных прожекторов.

§ 125. Полярное уравнение эллипса, гиперболы и параболы.

Часто используют уравнения эллипса, гиперболы и параболы в полярной системе координат. Мы фиксируем полюс полярной системы координат в фокусе кривой. При этом для эллипса выбираем левый фокус, а для гиперболы - правый. Полярную ось выбираем так, чтобы её направление совпадало с положительным направлением оси абсцисс.

Все три вида кривых описываются общим свойством: для любой точки отношение расстояний до фокуса и до директрисы постоянно и равно эксцентриситету кривой. Значение эксцентриситета определяет тип кривой. Если зафиксировать фокальный параметр (это расстояние от фокуса до директрисы) так, что положение директрисы в выбранной системе координат будет оставаться неизменным, то варьируя эксцентриситет, получим единый ряд эллипсов, параболы, правых ветвей гипербол (См. рис. 11.25). Конкретная кривая определяется своим эксцентриситетом при помощи уравнения:, (4)

где - полярный, он же фокальный радиус точкина кривой,- перпендикуляр, опущенный из точкина директрису(См. рис. 11.25 ).

 

 

 

Так как , то подставив это выражение в (4), получим:или(5)

Уравнение (5) называется полярным уравнением эллипса, параболы, правой ветви гиперболы.