Понятие вектор

Векторы занимают особое место среди объектов, рассматриваемых в высшей математике, поскольку каждый вектор имеет не только числовое значение - длину, но и физическое и геометрическое - направленность. Вектор, представленный направленным отрезком, идущим от точки A к точке B, обозначается так: .

Вектор - это вид представления точки, до которой требуется добраться из некоторой начальной точки. Например, трёхмерный вектор, как правило, записывается в виде (х, y, z). Говоря совсем просто, эти числа означают, как далеко требуется пройти в трёх различных направлениях, чтобы добраться до точки.

Пусть дан вектор. При этом x = 3 (правая рука указывает направо), y = 1 (левая рука указывает вперёд), z = 5 (под точкой стоит лестница, ведущая вверх). По этим данным вы найдёте точку, проходя 3 метра в направлении, указываемом правой рукой, затем 1 метр в направлении, указываемом левой рукой, а далее Вас ждёт лестница и, поднимаясь на 5 метров, Вы, наконец, окажетесь в искомой точке.

Все остальные термины - это уточнения представленного выше объяснения, необходимые для различных операций над векторами, то есть, решения практических задач. Пройдёмся по этим более строгим определениям, останавливаясь на типичных задачах на векторы.

Физическими примерами векторных величин могут служить смещение материальной точки, двигающейся в пространстве, скорость и ускорение этой точки, а также действующая на неё сила.

Координаты вектора на плоскости и в пространстве

Первым пунктом рассмотрим векторы на плоскости. Изобразим декартову прямоугольную систему координат и от начала координат отложим единичные векторы и : Векторы и ортогональны. Ортогональны = Перпендикулярны. Рекомендую потихоньку привыкать к терминам: вместо параллельности и перпендикулярности используем соответственно слова коллинеарность и ортогональность.

Обозначение: ортогональность векторов записывают привычным значком перпендикулярности, например: .

Рассматриваемые векторы называют координатными векторами или ортами. Данные векторы образуют базис на плоскости. Что такое базис, думаю, интуитивно многим понятно, более подробную информацию можно найти в статье Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов. Простыми словами, базис и начало координат задают всю систему – это своеобразный фундамент, на котором кипит полная и насыщенная геометрическая жизнь.

Иногда построенный базис называют ортонормированным базисом плоскости: «орто» – потому что координатные векторы ортогональны, прилагательное «нормированный» означает единичный, т.е. длины векторов базиса равны единице.

Обозначение: базис обычно записывают в круглых скобках, внутри которых в строгой последовательности перечисляются базисные векторы, например: . Координатные векторы нельзя переставлять местами.

Любой вектор плоскости единственным образом выражается в виде:

, где – числа, которые называются координатами вектора в данном базисе. А само выражение называется разложением вектора по базису .

Теперь рассмотрим векторы в трехмерном пространстве, здесь практически всё так же! Только добавится ещё одна координата. Трехмерные чертежи выполнять тяжко, поэтому ограничусь одним вектором, который для простоты отложу от начала координат:Перед вами ортонормированный базис трехмерного пространства и прямоугольная система координат, единичные векторы данного базиса попарно ортогональны: и . Ось наклонена под углом 45 градусов только для того, чтобы складывалось визуальное впечатление пространства. О том, как правильно выполнять плоские и трехмерные чертежи на клетчатой бумаге, читайте в самом начале методички Графики и свойства функций.

Любой вектор трехмерного пространства можно единственным способом разложить по ортонормированному базису :

, где – координаты вектора (числа) в данном базисе.

Пример с картинки: . Давайте посмотрим, как здесь работают правила действий с векторами. Во-первых, умножение вектора на число: (красная стрелка), (зеленая стрелка) и (малиновая стрелка). Во-вторых, перед вами пример сложения нескольких, в данном случае трёх, векторов: . Вектор суммы начинается в исходной точке отправления (начало вектора ) и утыкается в итоговую точку прибытия (конец вектора ).

Все векторы трехмерного пространства, естественно, тоже свободны, попробуйте мысленно отложить вектор от любой другой точки, и вы поймёте, что его разложение «останется при нём».

Аналогично плоскому случаю, помимо записи широко используются версии со скобками: либо .

Если в разложении отсутствует один (или два) координатных вектора, то вместо них ставятся нули. Примеры:

вектор (дотошно ) – запишем ;

вектор (дотошно ) – запишем ;

вектор (дотошно ) – запишем .

Базисные векторы записываются следующим образом: Линейные операции над векторами в координатной форме

Равенство векторов и линейные операции (сложение векторов и умножение вектора на число) удобно представлять в координатной форме. При этом справедливы следующие свойства.

1. Равные векторы имеют равные координаты (в одном и том же базисе).

2. Каждая координата суммы векторов равна сумме соответствующих координат слагаемых.

3. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению этого числа на соответствующую координату вектора.

4. Каждая координата линейной комбинации векторов равна линейной комбинации соответствующих координат векторов.

Докажем, например, последнее свойство. Проекция линейной комбинации векторов на прямую, содержащую базисный вектор \vec{e}_1, равна линейной комбинации проекций векторов (составляющих линейную комбинацию) на эту прямую. Поэтому абсцисса линейной комбинации векторов равна линейной комбинации абсцисс этих векторов. Аналогичное рассуждение справедливо для ординат и аппликат.. Основные теоремы 1.3-1.5 о разложении вектора по базису устанавливают взаимно однозначное соответствие между множеством векторов пространства и множеством их координат в данном базисе. А именно, между векторами на прямой и действительными числами, между векторами на плоскости и упорядоченными парами чисел, между векторами пространства и упорядоченными тройками чисел. Например, при фиксированном базисевекторуоднозначно соответствует упорядоченная тройка чисел, и наоборот, каждой упорядоченной тройке чиселсоответствует векторт.еВ частности, если векторв базисеимеет разложението этому вектору соответствует тройка чисели наоборот. Нулевому вектору в любом базисе в пространстве соответствует нулевая тройка (0;0;0). (вектор его координаты)

сохраняет линейные операции: сумме векторов соответствует сумма их одноименных координат, произведению вектора на число соответствует произведение его координат на это число. Такое взаимно однозначное соответствие называется изоморфизмом.

3. На практике координаты векторов удобно представлять в виде матриц-столбцов (или матриц-строк), которые называются координатными столбцами (координатными строками).

В базисе  вектору соответствует координатный столбец .Обозначение базиса можно не указывать, если не может возникнуть неоднозначности. Линейным операциям над векторами соответствуют линейные операции над их координатными столбцами. Например, если в одном и том же базисе векторам и соответствуют координатные столбцы и , то их линейной комбинации соответствует координатный столбец , т.е.координатный столбец линейной комбинации векторов равен линейной

Координаты точки, радиус- вектор точки, произвольные вектора. Длина вектора.

Проекция т. М на αЧтобы найти проекцию точки на прямую, нужно через точку провести плоскость перпендикулярно этой прямой.Опр. Вектор, соединяющий начало координат т. О с произвольной точкой пространства называется радиус- вектор этой точки. Радиус- вектор т. М – ОМ.

Найдем координаты радиус- вектора ОМ

ОА= xi

ОВ= yj

ОС= zk

OM= OP+ PM= OA+ OB+ OC= xi+ yj+ zk= (x, y, z)

Вывод: координаты радиус- вектора точки совпадает с координатами самой точки ОМ= (x, y, z)

Вектор ОМ является диагональю параллелепипеда, по свойству диагоналей d²= a²+ b²+ c² отсюда следует, что │ОМ│²= x²+ y²+ z². Извлекая, квадратный корень получаем длину 

Возьмем две произвольные точки. т. А(x₁, y₁, z₁) и т. В (x₂, y₂, z₂). Соединим АВ. Вспомогательные векторы

ОА= (x₁, y₁, z₁)

ОВ= (x₂, y₂, z₂)

АВ= ОВ- ОА= (x₂, y₂, z₂)- (x₁, y₁, z₁)= (x₂- x₁, , y₂- y₁, z₂- z₁)

Вывод: чтобы найти координаты вектора нужно их координат конца вектора вычесть соответствующие координаты начала вектора.

АВ= (x₂- x₁, , y₂- y₁, z₂- z₁)

Пр. Даны 3 точки. т. А(2,-1,3), т. В(4,0,1), т. С(-1,2,1). Найти АВ и его длину │АВ│, m= AB- 2BC.

 Деление отрезка в данном отношении

Если точка М(x; y) лежит на прямой, проходящей через две данные точки (,) и (,), и дано отношение , в котором точка М делит отрезок, то координаты точки М определяются по формулам

, .

Если точка М является серединой отрезка , то ее координаты определяются по формулам

, .

Скалярное произведение векторов и его свойства

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Если хотя бы один из двух векторов нулевой, то угол между ними не определён, а скалярное произведение считается равным нулю. Скалярное произведение векторов иобозначается

Формуле (6.1) можно придать иной вид. Так как | a| cosg=пр ba, (см. рис.14), a |b| cosg = пр ab, то получаем:т. е. скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженному на проекцию другого на ось, сонаправленную с первым вектором .Свойства скалярного произведения

1. Скалярное произведение обладает переместительным свойством: ab=ba5. Если векторы а и b (ненулевые) взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, т. е. если a ^b, то ab=0. Справедливо и обратное утверждение: если ab=0 и а¹ 0 ¹b, то а ^ b Выражение скалярного произведения через координаты

Пусть заданы два вектора

Найдем скалярное произведение векторов, перемножая их как многочлены (что законно в силу свойств линейности скалярного произведения) и пользуясь таблицей скалярного произведения векторов i, j, k:Итак, скалярное произведение векторов равно сумме произведений их одноименных координат.

Три некомпланарных вектора a, b и с, взятые в указанном порядке, образуют правую тройку, если с конца третьего вектора с кратчайший поворот от первого вектора а ко второму вектору b виден совершающимся против часовой стрелки, и левую, если по часовой Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор с, который:

1. Перпендикулярен векторам a и b, т. е. с^а и с^b;

2. Имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах а и b как на сторонах (см. рис. 17), т. е. 3.Векторыa,bи с образуют правую тройкуВекторное произведение обозначается а х b или [а,b]. Из определения векторного произведения непосредственно вытекают следующие соотношения между ортами i , j и k (см. рис. 18):

i х j = k, j х k = i, k х i = j.

Докажем, например, что iхj=k.

1) k^i, k^j;

2) |k|=1, но | i x j| = |i| • |J| • sin(90°)=1;

3) векторы i , j и k образуют правую тройку (см. рис. 16).

7.2. Свойства векторного произведения

1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак, т.е. а хb =(b хa ) (см. рис. 19).

Векторы ахb и b ха коллинеарны, имеют одинаковые модули (площадь параллелограмма остается неизменной), но противоположно направлены (тройки а , b , а хb и a , b , bxa противоположной ориентации). Стало быть axb = -(bxa ).

2. Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, т. е. l(а хb ) = (lа ) х b = а х (lb ). Пусть l>0. Вектор l(ахb ) перпендикулярен векторам а и b . Вектор ( lа)хb также перпендикулярен векторам а и b (векторы а, lа лежат в одной плоскости). Значит, векторы l(ахb ) и ( lа)хb коллинеарны. Очевидно, что и направления их совпадают. Имеют одинаковую длину:Поэтому l(a хb )= lахb . Аналогично доказывается при l<0.

3. Два ненулевых вектора а и b коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, т. е. а||b <=>ахb =0. 4. Векторное произведение обладает распределительным свойством:

(a+b) хс= ахс+b хс.

Примем без доказательства.