32

→ →

Угол между векторами Cos ф= a→ b→ .

a b

Проверка параллельности и перпендикулярности векторов. Вычисление площадей многоугольников, разбиением их на

треугольники и используя равенство из геометрической интерпретации

uur uuuuur а знаменатель – это основание параллелограмма со сторонами ÀÂ и

ÀÌ î .

3.Аналитическая геометрия.

Отличительной особенностью разделов аналитической геометрии является принцип манипулирования с формулами , истолковывая действия как геометрические преобразования некоторых геометрических объектов. Важно усвоить этот принцип и тогда решение задач принимает простой и интересный процесс.

3.1.Уравнения линий и поверхностей

Опред. Множество (совокупность, семейство) точек плоскости с введенной системой декартовых координат, координаты каждой из которых удовлетворяют уравнению F(x,y)=0, называют линия на плоскости, а само уравнение – уравнением этой линии.

Комментарий. Даже в случае отсутствия фактической линии в аналитической геометрии уравнение принято называть уравнением линии. Например, уравнение х2+у2+9=0 только внешне похоже на уравнение

уравнение прямой с угловым коэффициентом .

2.Если A =0, B ≠0, то из (6.1) получаем х=хо . Это уравнение прямой, перпендикулярной оси Ох.

3.Если A ≠0, B =0, то из (6.1) получаем у= уо . Это уравнение прямой, перпендикулярной оси Оу.

Т.о. уравнение прямой для любых коэффициентов А и В. Само (6.1) называют –

общее уравнение прямой на плоскости.

Для других нужд в аналитической геометрии используют уравнения прямой, записанное в других видах – шаблоны. Каждый из таких шаблонов является решением задачи тип 2 и существенно упрощает решения более крупных задач. Следует иметь представления об этих шаблонах и знать возможные переходы между ними(преобразование одного шаблона в другой).

Уравнение прямой, проходящей через данную точку Мо(хо;уо )

→

перпендикулярно данному вектору N (А;В). Его легко получить решая задачу

типа 2 : вектор Ммо ортогонален вектору N. А потому имеем в координатной форме условие ортогональности А(х-хо)+В(у-уо)=0. Переход от этого уравнения к (6.1) прост – раскрыть скобки и привести подобные. И тгда становится ясно, что числа А и В в (6.1) – координаты нормального вектора к прямой. А сисло С – характеризует точку, через которую проходит прямая.

Уравнение прямой , проходящей через две заданные точки Мо(хо;уо ) и

М1(х1;у1 ). Легко получается при решении задачи тива 2, в которой использовано

Каноническое уравнение прямой r– прямой, которая проходит через данную

точку Мо(хо;уо) параллельно вектору S (m;n).

Нормальное уравнение прямой . xCosα +ySinα -p=0.

Каждый из этих шаблонов используют при решении разных задач. Например, требуется вычислить расстояние от точки Мо(хо;уо ) до прямой Ax+By+C=0. Для

38

Опред. Множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек F1 и F2, называемых фокусами, равна постоянной 2а, называют эллисом.

Если расположить указанные точки симметрично началу координат и на оси Ох F1 (0;-с) и F2(0;с), то после решения задачи типа 2 получим каноническое

связаны соотношением а2-b2=c2 . Можно рассмотреть геометрический способ построения эллипса – в лист бумаги вколоть две шпильки, связать свободным кольцом нить, одеть кольцо на шпильки, оттянуть карандашом нить и в таком состоянии двигать крандаш вокруг шпилек – он опишет эллипс.

Точки пересечения эллипса с осями координат называют вершинами эллипса. Расстояния от начала координат до вершин называют полуосями эллипса. Полуость, на которой расположены фокусы – а – называется большой полуосью, b – малой.

Отношение 2c/2a=c/a называют эксцентриситет эллипса. Эксцентриситет (бывший центр) характеризует степень вытянутости эллипса вдоль большой полуоси и может принимать значения от 0 до 1. В первом случае эллипс превращается в окружность (a=b), а во втором – эллипс вырождается в отрезок F1F2. Эллипс – одна из классических кривых 2-го порядка.

Опред. Множество точек плоскости, рсазность расстояний от каждой из которых до двух данных точек F1 и F2, называемых фокусами, равна постоянной 2а, называют гиперболой.

Если расположить указанные точки симметрично началу координат и на оси Ох F1 (0;-с) и F2(0;с), то после решения задачи типа 2 получим каноническое

связаны соотношением а2+b2=c2 .

Точки пересечения гиперболы с осями координат называют вершинами гиперболы. Обнаруживается, что гипербола пересекает только ось Ох. Но в аналитической геометрии этот факт истолковывают так : гипербола пересекает ось Ох в действительных вершинах A1(-a;0) и A2(-a;0), а ось Оу в мнимых вершинах В1(0;-b) и B2(0;b). Соответственно, расстояния от начала координат до действительных вершин называют действительными полуосями гиперболы, а расстояния от начала координат до мнимых вершин называют мнимыми полуосями гиперболы. Фокусы расположены на действительной полуоси. Отношение 2c/2a=c/a называют эксцентриситет гиперболы. Эксцентриситет может принимать значения от 1 до бесконечности. Гипербола – одна из классических кривых 2-го порядка.

Отметим некоторые особенности построения гиперболы. Из канонического уравнения гиперболы видно, что кривая симметрична относительно обеих координатных осей. Построим ее только в первой четвертию Для этого вычислим

39

ba 2

уиз канонического уравнения y= a x 1− x . Если теперь увеличивать х

неограниченно, то второй сомножитель со временем преврататся в 1 и изменение у будет полностью связано первым множителем. Иначе говоря, с увеличением х гипербола приближается, не пересекая, к прямой у=bx/a. Такую прямую в аналитической геометрии называют асимптотой.

Теперь можно приниматься за построение кривой в таком порядке:

1-й шаг – на плоскости с введенной декартовой системой координат изображаем фокусы и действительные вершины гиперболы (точки пересечения с действительной остью);

2-й шаг – строят “опорный прямоугольник” со сторонами x= ± а , y= ±b ; 3-й шаг – проводят диагонали прямоугольника – асимптоты кривой;

4-й шаг – в первой четверти координатной плоскости , начиная от вершины проводят плавную кривую вне прямоугольника, которая приближается к асимптоте – диагонали и не пересекает ее; 5-й шаг – отражают полученную кривую в координатных осях и получают всю гиперболу.

Опред. Множество точек плоскости, каждая из котрых равноудалена от данной точки F (фокуса) и данной прямой (директрисы), называется параболой.

Если расположить фокус на оси Ох в точке F(p/2;0), а директрису взять в виде х=p/2 и решить задачу типа 2, то получим каноническое уравнение параболы y2=2px.

Отличие такого уравнения параболы от графика квадратного трехчлена чисто символическое – поменялись оси симметрии.

3.6.Уравнения 2-й степени в пространстве

Опред. Уравнением второго порядка в пространстве (уравнением поверхности 2-го порядка)

произведения текущих координат. В этом случае имеется возможность выделить полные квадраты по переменным и получить уравнение поверхности в каноническом виде. Последние и будем изучать более подробно.

Для исследования канонических уравнений поверхностей второго порядка используют метод сечений. В самом простом виде он выглядит так: проводят серии плоскостей, параллельных координатным плоскостям и по результатам (виду сечений) делают вывод о форме поверхности. Эта работа похожа на работу томографа при исследовании внутренних органов человека в медлабораториях или работу топографа при топографической съемке местности.

плоскостями – выше h=-c и ниже h=c. Более того, в сечениях получаются эллипсы, самый большой из которых расположен в плоскости z=0. Чем дальше от плоскости хОу, тем меньше эллипс. И на высоте с эллипс вырождается в точку.

Если провести аналогичные серии плоскостей . параллельных другим координатным плоскостям, то получим похожие выводы. Следовательно, поверхность образована скольжением эллипсов по эллипса и называется трехосным эллипсоидом.

3.7.Цилиндры и поверхности вращения

Из поверхностей, отличных от 2-го порядка рассмотрим два частных случая.

Пусть задано уравнение F(x;y)=0 в пространстве. И требуется установить, как выглядит поверхность.

Комментарий. Т.к. сказано, что уравнение задано в пространстве, то отсутствие в уравнении некоторых переменных не противоречит определению поверхности в разделе 6.1.

Рассуждаем так. Добавим к этому уравнению уравнение z=0. Тогда

точку М(х;у). Если теперь эту точку перемещать вдоль Oz, не меняя х и у этой

точки, то уравнение поверхности F(x;y)=0 будет тождественно выполняться, т.к.

тождественно выполняется первое уравнение системы. Значит поверхность образована движением прямой, параллельной Oz и пересекающей данную линию

на плоскости. Естественно эту поверхность назвать цилиндрической. У нее две

характеристики, определяющие ее вид : кривая F(x;y)=0 при z=0 – направляющая

цилиндра; и прямая, пересекающая эту кривую, перпендикулярная плоскости расположения кривой и называемая образующей цилиндра.

Вывод : всякое уравнение с двумя переменными в пространстве определяет цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной отсутствующей координате и направляющей – кривой в плоскости переменных, записанных в уравнении поверхности.

Пусть дана плоская линия для определенности в плоскости хОу уравнениями

вращать около оси Oх, то точка опишет окружность с центром на оси Ох и радиусом, равным у точки М. Уравнение этой окружности Z2+Y2=y2 . В

41

уравнении большими буквами записаны фактически меняющиеся координаты точки на окружности, а малое у – это радиус. Такие же окружности описывают

все точки кривой и образуется поверхность вращения. На каждой окружности этой поверхности х=Х. Если из уравнения окружности выразить у и подставить в

уравнение кривой, то получим F(Х, ± У2 + Z2 )=0. Но последнее уравнение

содержит три переменные и потому является уравнением поверхности вращения взятой в начале линии относительно Ох.

Вывод: если в некотором уравнении квадраты двух переменных имеют одинаковые коэффициенты, то это поверхность вращения. А механизм получения уравнения поверхности , образованной вращением некоторой линии относительно координатной оси, представлен выше.

3.8.Упрощение кривых 2-го порядка

Известно общее уравнение кривой 2-го порядка

a11x2+2a12xy+a22y2+a13x+a23y+a33=0

Известны виды возможных кривых, если кривые заданы каноническими

уравнениями. Рассмотрим более общий случай уравнения

a11x2+2a12xy+a22y2+a13x+a23y+a33=0

Пусть a12=0. Тогда в общем уравнении отсутствует произведение текущих координат. Можно выделить полные квадраты по переменным. Тогда уравнение примет несколько модифицированный вид, но близкий к каноническому.

Построить кривую будет возможно, если использовать известный принцип

сдвига кривой вдоль осей координат.

Если же a12 не равен нулю, тогда механизм упрощения уравнения кривой

несколько усложняется и может быть выполнен в такой последовательности. 1-й шаг – по виду старших слагаемых выписываем матрицу квадратичной формы переменных (см. раздел 1.12); 2-й шаг – составляем и решаем характеристическое уравнение для поиска

собственных значений матрицы квадратичной формы; собственные значения

всегда действительные числа и они укажут нам ти кривой второго порядка (см. раздел 1.11); при этом квадратичная форма принимает канонический вид – в ней не будет произведения текущих координат; следует заметить, что порядок

собственных значений не влияет на тип кривой; 3-й шаг – для известных собственных значаний находим собственные векторы;

нормируем их и получаем новый ортонормированный базис и матрицу поворота

плоскости для перехода к новому базису(см. раздел 1.9); 4-й шаг – строим старый декартов базис и в нем новый декартов базис из

нормированных собственных векторов матрицы квадратичной формы;

5-й шаг – выписываем формулы преобразования координат для перехода к новому базису и преобразуем с их помощью линейные слагаемые в уравнении

кривой; 6-й шаг – теперь в уравнении кривой отсутствует произведение текущих новых

координат и остается выделить полные квадраты по переменным и построить кривую в новой системе координат.