4

1.Матрицы, определители и системы линейных уравнений

1.1.Матрицы и математические действия с ними

Определение. Матрицей называют таблицу объектов произвольной структуры, расположенных в виде строк и столбцов.

Обозначают матрицы заглавными латинскими буквами - А, В, ....

Допустимо использование правых нижних и верхних индексов - АТ, А-1 и т.д..

матрице m строк и n столбцов. Строго следите за порядком - сначала строка, затем столбец! Говорят: матрица А имеет размерность m на n. Это - первая и простейшая классификация матриц. В частности матрица может быть матрицей-строкой. А также матрицей-столбцом.

Выражения aij - называют элементами матрицы и читают “а-и- жи”. Первый индекс - номер строки, в которой расположен данный элемент; второй индекс - номер столбца, в котором расположен этот элемент. При чтении строго называйте индексы в указанном порядке “ строкастолбец” - этим самым элемент однозначно локализуется в матрице.

По содержанию элементов матрицу тоже классифицируют: если элементы - функции, то матрица функциональная; если элементы - числа, то матрица числовая. Примером матрицы может служить платежная ведомость, понижающий или повышающий трансформатор с двумя обмотками.

Важным частным случаем является единичная матрица, обозначаемая всегда Е , имеющая вид квадратной матрицы нужной в данный

Следующие классы матриц будут введены по необходимости

позднее.

Определение. Две матрицы будем называть равными, если равны их соответствующие элементы.

Это определение указывает, что для сравнения матриц следует: - проверить равенство конфигураций матриц (подразумевается по

умолчанию - “default”);

5

-сопоставить между собой в матрицах все элементы, имеющие

одинаковые индексы.

Все сказанное символически записывают так : А=В aij=bij i,j. Определение. Суммой матриц А и В называют матрицу С, для

которой справедливо соотношение aij+bij =сij i,j.

Это определение указывает, что для суммирования матриц

следует:

-проверить равенство конфигураций;

-суммировать между собой в матрицах все элементы, имеющие одинаковые индексы.

Определение. При умножении матрицы А на величину λ следует на эту величину умножить все элементы матрицы.

Символически λА λaij .

Определение. Матрицы А и В перемножают по правилу

АВ=С сij = ∑a ik bkj .

повcем k

Это определение указывает, что для умножении матриц следует:

-проверить, чтобы число столбцов первой матрицы-сомножителя было равно числу строк второй матрицы-сомножителя;

-выбрать элемент матрицы С, который нужно вычислить - сij;

-поэлементно перемножить строку i матрицы А на столбец j матрицы

Ви результаты просуммировать;

-результат занести в матрицу С на требуемое место.

При практической реализации умножения матрицу С заполняют построчно - так привычней и легче контролировать результат.

Следует отметить, что при умножении матриц не всегда справедлив переместительный закон, т.е. не всегда верно АВ=ВА.

Для дальнейшей работы с матрицами и их применению введем

1.2.Определители и их свойства

Определителем квадратной матрицы А называют число,

Число n называют порядком определителя.

Если в определителе вычеркнуть строку i и столбец j, то останется определитель порядка n-1. Этот определитель называют минором элемента aij и обозначают Мij .

Если минор Мij умножить на (1)i+j , то полученный результат называют алгебраическим дополнением элемента aij. и обозначают Аij.

1−3 = (−1)1+11 7 + (−1)1+2 (−3) 2 =13 или

27

воспользовались двумя различными схемами, так как схема в определении не оговаривается. Результат, естественно, одинаков.

При вычислении определителя во втором случае мы используем обнаруженный факт. И потому увидим , что для вычисления удобно использовать третий столбец элементов. Причина в том. что при этом сумма из определения на первом шаге будет содержать только одно слагаемое. В самом деле

12 −1

24 0 .= −1 5 0

начальный простой алгоритм вычисления определителя:

1-й шаг - просмотри ряды определителя и выбери тот, в котором много нулей;

2-й шаг - используя определение, запиши сумму для вычисления (раскрой определитель по элементам выбранного ряда); получишь n определителей порядка n-1 в каждом слагаемом;

3-й шаг - для каждого из полученных определителей выполни п.п. 1 , 2,

3.

Для дальнейшего упрощения вычислений рассмотрим несколько свойств определителя.

С1. При замене строк определителя соответствующими столбцами (транспонировании) определитель не меняется.

Для доказательства достаточно представить факт транспонирования и затем раскрыть определитель по выбранному ранее ряду.

7

С2. Все свойства определителя, справедливые для строк, справедливы и для столбцов.

С3. При перестановке двух параллельных рядов местами определитель сменит знак.

Для доказательства, не нарушая общности, проделаем указанное с определителем 2-го порядка. Легко видеть это свойство справедливо. Для произвольного определителя достаточно подсчитать количество смен знаков при перестановке соседних рядов.

С4. Определитель с нулевым рядом равен нулю.

Для доказательства достаточно раскрыть определитель по нулевому ряду , используя определение.

С5. Определитель, у которого два параллельных ряда равны, равен нулю.

Для доказательства переставим местами равные ряды. Тогда по С3 определитель сменит знак. Но он при этом не изменится. Такое возможно только если он равен нулю.

С6. В определителе, у которого элементы ряда имеют общий множитель, этот множитель можно вынести за знак определителя.

Если раскрыть определитель по указанному ряду, то этот множитель можно будет вынести за знак суммы. Затем оставшуюся сумму легко развернуть в определитель , в котором общий множитель будет

Отметим, что после первого знака равенства был вынесен множитель только из 1-й строки. Из второго столбца вынести ничего при этом нельзя, т.к. а12 уже стал равным 1. Далее по определению был раскрыт определитель по 1-й строке. После чего в полученном определителе 2-го порядка можно вынести множитель 2 из 2-го столбца. При этом знак слагаемого установлен устно во всех случаях.

С7. Определитель, у которого элементы двух параллельных рядов соответственно пропорциональны, равен нулю.

Достаточно из одного из пропорциональных рядов вынести общий множитель и в оставшемся определителе окажется два равных ряда. Далее смотри С5.

С8. Если все элементы некоторого ряда представить как сумму двух слагаемых, то определитель будет равен сумме двух определителей, у которых вместо ряда-суммы будут стоять ряды слагаемых из сумм. Остальные ряды будут одинаковы.

Для доказательства достаточно раскрыть определитель по ряду, состоящему из суммы дыух слагаемых. Затем полученную по определению

определитель по 2-му столбцу, а затем вынести из 2-й строки множитель (z- y) и из 3-й строки множитель (t-y) , то получим

Другими приемами вычисление результата в таком простом виде практически нереализуемо. А применяется этот определитель Ван-дер-Монда очень широко.

Отметим, что для вычисления определителей 3-го порядка исполь-зуют частное правило “треугольников”, неприменимое в общем случае.

Определение. Квадратную матрицу, определитель которой не равен нулю, называют невырожденной.

1- В противном случае матрицу называют вырожденной

1.3.Системы линейных алгебраических уравнений

Определение системой линейных алгебраических уравнений называют

10

x1

неизвестных, которые образуют матрицу-столбец Х= x2 =(х1 х2 ... xn)Т,а

.xn

Как видим, число уравнений в системе не обязательно равно числу неизвестных. При m=n известен из школьного курса математики метод исключения или метод алгебраического сложения для поиска решения этой системы - матрицы-столбца Х, подстановка которого в каждое уравнение обращает это уравнение в верное равенство (тождество). Однако при наличии большого числа уравнений эти методы становятся неприемлемыми с точки зрения объема вычислений. При этом всегда остается вопрос о наличии того, что мы ищем (есть ли вообще искомое решение), а также о количестве таких решений.

Сначала решим вопрос о поиске гарантировано существующего

единственного решения.

1.4.Формулы Крамера

Теорема. Если матрица линейной системы невырождена, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам x j = j , где j -

Доказательство. Пусть матрица в системе (1) квадратная размерности mm. Умножим в системе первое уравнение на А11, 2-е - на А21 и т.д. последнее - на Аm1. Затем суммируем отдельно левые и правые части всех уравнений. Получим после группировки по общим множителям xj слева x1(a11A11+a21A21+...+am1Am1)+x2(a12A11+a22A21+...+am2Am1)+...

столбца. Во 2-й скобке записан нуль по С10, т.к. там записана сумма произведений 2-го столбца на алгебраические дополнения 1-го столбца. Аналогично записана для остальных скобок слева. А справа записано выражение для этого же определителя, первый столбец которого заменен столбцом свободных членов системы. Таким образом получаем равенство

x1 = 1. Откуда получаем x1 = 1 . Теперь можно повторить весь процесс

11

для алгебраических дополнений 2-го столбца. И получим требуемое утверждение теоремы.

Частный случай - однородная система линейных уравнений

всегда имеет решение Х=(0 0...0)Т, которое называют тривиальным. Перейдем к другим возможным ситуациям.

1.5.Общий алгоритм решения системы линейных уравнений

Определение. Наибольший из порядков не равных нулю миноров матрицы А называют рангом матрицы и обозначают rankA.

Для поиска ранга используют разные методы. Мы используем метод окаймляющих миноров. Выполним реализацию этого метода на примере.

Решение. Т.к. в матрице есть элементы (“определители” 1-го порядка), не равные нулю, то делаем вывод: rankA ≥1. рассмотрим элемент а11=1 ≠ 0 и записанный в левом верхнем углу матрицы. Если бы там был записан нуль, то всегда можно переставить местами параллельные ряды матрицы так, чтобы на этом месте был записан ненулевой элемент.

3-го порядка, окаймляющих минор М2, нет, то делаем вывод: rankA = 2 . При этом М2 назовем базисным минором матрицы А.

записываем систему, отбросив третье уравнение и положив свободное

разные значения С, получим разные решения системы. Теперь запишем решение исходной системы с расширенной матрицей А1 из примера 4:

количество решений, определяемых по формуле для Х.

1.6.Матричный метод решения линейной системы.

Определение. Матрицу А-1 называют обратной для матрицы А, если А- 1 А=А А-1 =Е.

Из определения следует, что матрицы А и А-1 квадратные и для

них

справедлив переместительный закон.

Теорема. Если А невырождена, то обратная матрица существует. Доказательство. Ограничимся квадратной матрицей 2-го порядка.

систему 4-х уравнений с четырьмя неизвестными элементами матрицы В

системы, каждая из которых имеет один и тот же определитель, равный

записано алгебраическое дополнение соответствующих элементов транспонированной матрицы АТ. Доказательство закончено. И из него вытекает алгоритм поиска А-1 :

1-й шаг - вычисли detA;

2-й шаг - если detA не равен нулю, перейдите к пункту 3, иначе обратной матрицы не существует;

3-й шаг - транспонируйте матрицу А; 4-й шаг - для всех элементов транспонированной матрицы выпишите

алгебраические дополнения;

5-й шаг составьте обратную матрицу из отношений detA ijA .

Используя обратную матрицу легко решить линейную систему, если она имеет единственное решение. В самом деле, пусть дана система АХ=В с невырожденной матрицей А (т.е. detA ≠0). Сформируем матрицу А-1 по вышеприведенному алгоритму. Теперь умножим слева обе части уравнение АХ=В на матрицу А-1. Получим А-1АХ= А-1 В. Но А-1 А=Е, а ЕХ=Х и потому получаем Х= А-1В.

Пример 1.6. Решите систему

этой системы равен 2 и потому система имеет решение. Базисный минор системы равен М2 и приведен в примере 5. Фактически нам предстоит

обратную матрицу для последней системы. Так как матрица последней системы невырождена (detA= М2), легко найти ее обратную матрицу А-1

Ответ: система имеет бесчисленное количество решений, определяемых по формуле для Х.

1.7.Понятие о приближенных методах решения линейных систем

Рассмотренные примеры решения линейных систем являются чисто учебными. На практике (при решении прикладных профессиональных или

15

научных задач) приходится решать чистемы с сотнями , тысячами и даже сотнями тысяч уравнений. Естественно, что выполнить это можно только специальными численными методами. Понятие о некоторых из них и рассматривается в этом разделе. Сразу следует отметить, что эти методы обеспечивают поиск только единственно существующего решения системы. Вопросы обеспечения наличия или отсутствия решения решает тот, кто собирается решать такую систему.

Для линейных систем с несколькими сотнями уравнений используют метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных в разных вариациях). Для систем с несколькими тысячами уравнений, матрицы которых имеют специальный вид, используют итерационные методы решения(о которых будет сказано ниже). Для большего числа уравнений используют вероятностные методы МонтеКарло).

Пусть систему АХ+В удалось преобразовать к виду Х= А1Х+В1. Если матрица А1 такова, что:

-сумма модулей коэффициентов строки (для всех строк) не превосходит 1;

-сумма модулей коэффициентов столбца (для всех столбцов) не превосходит 1,

тогда можно организовать вычислительный процесс по схеме Х(k+1)= А1Х(k) +В1, где k - номер предыдущего приближения к решению

системы. Этот процесс называют итерационным (повторяющимся) и

погрешность решения задачи. В качестве приближенного решения системы берут матрицу-столбец Х(k+1) .

Пример 1.7. Методом итераций решить систему

x1 +10x2 − x3 = 2,5x1 − x2 + 3x3 = 5,

x1 +10x2 + 20x3 =1.

Решение. переставим в системе первое и второе уравнение. Затем из первого уравнения найдем х1; из второго - х2 и из третьего х3. В результате

16

Проверяем выполнение условий сходимости процесса к точному решению системы. Видим ,что сумма модулей коэффициентов при неизвестных в 1-й строке равна 0,8 , что меньше 1. То же самое верно для

2-й и 3-й строк. Т.о. система обеспечивает сходимость приближений к точному решению.

В эту итерационную схему в качестве нулевого (k=0) приближения в правую часть подставим столбец свободных членов (так чаще всего и делают, хотя можно было брать любой набор для неизвестных)

Х(о) = (1 0,2 0,05) Т .Тогда после вычислений справа получим слева первое (k=1) приближение Х(1) = (1,01 0,105 -0,1) Т. Повторим вычисления и получим последовательно Х(2) = (1,081 0,089 -0,053) Т ;

Х(3) = (1,050 0,087 -0,048) Т ; Х(4) = (1,046 0,090 -0,046) Т; Х(5) = (1,046 0,090 -0,047) Т; Х(6) = (1,046 0,090 -0,048) Т. Мы видим,

Что между 6-м и 5-м приближениями расхождение не превосходит 0,001. Поэтому в качестве решения системы может быть принято шестое приближение Х= Х(6) = (1,046 0,090 -0,048) Т .Это значит : х1=1,046; х2=0,090; х3=-0,046.

1.8.Линейное, евклидово и нормированное пространства.

Определение. Множество М элементов x,y,z…любой природы называют линейным (аффинным, векторным) пространством, если выполнены требования:

1-е. Имеется правило, по которому любым двум элементам х и у из М

каждого х существует элемент , называемый противоположный и

к(х+у)=кх+ку - распределительный закон сложения относительно умножения.

Если же природа элементов указана так же как и конкретный вид операций, то множество называют конкретным линейным пространством.

Примеры. Множество всех векторов на прямой (на плоскости, в пространстве) , если сложение определено по правилу треугольника (параллелограмма), а умножение на число как деформация, будет линейным векторным пространством с обозначением V1(V2, V3).

17

Множество полиномов степени не выше 2 , если правила суммирования и умножения на число определены как обычно, линейное векторное пространство.

Множество функций, непрерывных на отрезке, множество решений однородной системы и т.д.

Вто же время полиномов степени 2 , если правила суммирования

иумножения на число определены как обычно, не будет линейным векторным пространством, т.к. возможно потеря старшей степени при суммировании таких полиномов (после приведения подобных).

Элементы линейных пространств принято называть векторами. А т.к. умножение производят на действительное число, то еще и действительными.

n

Опред. Выражение ∑ai xi принято называть линейной

i=1

комбинацией элементов (векторов) ЛП.

Опред. Элементы (векторы) {xi} называют линейно

n

независимыми , если их ∑ai xi обращается в нуль тогда и только тогда,

i=1

когда все ai =0.

Опред. Множество {xi} ненулевых линейно независимых векторов (элементов) называют базисом ЛП, если для любого х не из этого множества существуют такие { ai } не все равные нулю, что будет

n

справедливо равенство х= ∑ai xi . Последнее равенство называют

i=1

разложением элемента х в базисе(по базису).

Опред. ЛП называют n-мерным, если в нем существуют n линейно независимых вектора, а n+1 вектор уже будут линейно зависимыми. N называют размерность ЛП и записывают это так dimM=n.

Т.к. иных операций в ЛП не введено, то Опред. Два ЛП называют изоморфными, если между их

элементами установлено взаимно-однозначное соответствие ткк, что, если х и у принадлежат ЛП M и им соответствуют x’ , y’ из ЛП M’, то х+у соответствует x’+y’, а кх соответствует кx’ из М’.

Из последнего следует, что единственной характеристикой ЛП является его размерность. Пишут так Mn.

Опред. Подмножество L из ЛП М, в котором справедливы указанные в определении ЛП операции называют линейным подпространством из Mn.

Определение. Действительное ЛП называют евклидовым, если выполнены требования :

2- имеется правило, по которому любым х и у из ЛП ставится в соответствие действительное число, называемое скалярным произведением и обозначаемое (х,у);

21

→

ЛП) называть матрицу-столбец r = ( х1 х2 х3)T. Как уже известно, умножение квадратной матрицы А на вектор дает матрицу-столбец – новый вектор из того же ЛП.

→

Определение. Ненулевой r называют собственным вектором

→ →

оператора А (матрицы А), если выполняется равенство Аr =кr , где к –

некоторое действительное, которое называют собственным значением оператора А (матрицы А).

после выполнения действий слева фактически будет иметь вид однородной системы линейных уравнений. Однородная система имеет ненулевые (нетривиальные) решения , только если ее определитель равен нулю. (См раздел 1.5). Получаем det(A-kE)=0 или для размерности 3

Последнее уравнение с неизвестным к называют характеристическим уравнением (в`ековым). Решив уравнение (1.10.1) мы получим собственные значения оператора А (матрицы А). Теперь поступаем так. Берем первое

→

собственное значение и подставляем его в систему (А-кЕ) r =0 с

→

неизвестными координатами вектора r . Определителем этой системы будет определитель из леовй части уравнения (1.10.1) при заданном к. Решаем эту систему по известному алгоритмы из раздела 1.5. Получаем координаты первого собственного вектора. Далее процесс повторяется для оставшихся собственных значений.

Пример 1.10. Найдите собственные значения и собственные векторы

алгоритму раздела 1.5 ранг матрицы этой системы не меньше 1 (т.к. есть элементы , не равные нулю) и не больше 3 (т.к. определитель системы это левая часть характеристического уравнения). И потому rancA=2. Легко