22
4 2
видеть , что базисным минором может служить минор 4 4 =8, не равный
нулю. Отбрасываем третье уравнение. Положим неизвестное х3=2 (или любому другому не равному нулю числу) и после решения системы
2 х1 + х2 |
= 3, |
|
→ |
T |
|
= 2 |
получаем первый собственный вектор |
r 1=( 1 |
1 2) . |
х1 + х2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
Аналогичным образом находим остальные собственные векторы : r 2=( 1 0 |
||||
1)T для |
|
→ |
|
|
собственного значения к=2 и r 3=( 1 2 2)T для собственного |
||||
значения к=3.
Комментарии. Как видим, сама задача распадается на три отдельные крупные математические задачи. Первая – составление характеристического уравнения. Записать определитель достаточно просто, но вычислять его при большой размерности очень трудно. Вторая – поиск решений (корней) уже полученного уравнения – одна из труднейших задач математики. В данном случае использована теорема о том, что корнями полинома с целыми коэффициентами могут быть делители свободного члена. И третья задача – поиск ненулевого решения решения однородной линейной системы.
Однако решать задачу нужно, т.к. она является базовой в приложениях при исследовании устойчивости линейных систем (не обязательно математических, но и систем передачи переменных напряжений от источника к потребителю).
1.11.Свойства симметрических матриц
Опред. Матрицу называют симметрической, если aij=aji. Для всех
i,j.
Теорема. Собственные значения симметрической матрицы – действительные числа, собственные векторы – ортогональны.
Док. Ограничимся матрицей размерности 2. Имеем А= a11 a12 .
a12 a22
Характеристическое уравнение имеет вид к2-(а11+а22)+(а11а22-а122)=0. Его
дискриминант равен (а11+а22)2-4(а11а22-а122)= (а11-а22)2+4а122 ≥0. А это значит – корни квадратного уравнения действительные числа.
Рассмотрим случай разных корней . Тогда по Виету имеем к1+к2= а11+а22, и к1к2= а11а22-а122 .С другой стороны для к1 найдем собственный
→ |
|
|
|
+ а12 х2 |
= 0 |
|
вектор r 1 из системы |
(а11 − к1)х1 |
Как известно, в этой системе |
||||
|
|
+(а22 |
− к1)х2 |
|
||
|
а12 |
х1 |
= 0 |
|
||
одно из уравнений лишнее, т.к. rancA=1. И потому мы отбросим , например, второе уравнение в системе и возьмем х2=а11-к1 . Тогда получим
→
собственный вектор r 1=(-а12 а11-к1)T . Из аналогичных рассуждений найдем
|
|
|
23 |
→ |
|
а11-к2)T . Теперь |
|
r 2=(-а12 |
вычислим их скалярное произведение |
||
→ |
→ |
|
|
r |
1 r 2=а122+(а11-к1)(а11-к2)= а122+а112- а11(а11+ а22)+ а11а22-а122 =0. |
||
|
|
Если же корни равны, |
то это происходит только тогда, когда |
одновременно а12=0 и а11- а22=0. Но это может быть только если к1= к2 = а11.
→ |
→ |
→ |
Но тогда в качестве r |
1 можно взять r 1=(1 0)T ,а в качестве |
r 2 можно взять |
→
r 2=(0 1)T . И все равно они будут ортогональны.
1.12.Квадратичные формы и их приведение к каноническому виду
→
Пусть в ЛП размерности 2 задан r =( х1 х2)T в нормированном евклидовом ортогональном базисе i,j.
Опред. Выражение ф(х1,х2)= а11х12+2а12 х1 х2 +а22х22=0 где aij - действительные числа, называют квадратичной формой двух переменных х1,х2. Ее можно записать иначе ф(х1,х2)= (а11х1+а12х2) х2+(а12 х1+а22х2)х2. Затем, используя умножение матрицы на вектор
получить ф(х1,х2)= |
|
а11 х1 +а12 |
х2 |
х1 |
a11 |
a12 |
х1 |
|
х1 |
)=(Ах,х), причем |
|
а12 х1 + а22 |
|
|
=(( |
|
), |
|
|||
|
|
х2 |
х2 |
a12 |
a22 |
х2 |
|
х2 |
|
|
матрица А – симметрическая и , как известно, ее ее собственные векторы
→ →
ортогональны. Пусть это будут векторы r 1 и r 2 . Тогда их можно нормировать и принять в качестве базисных в ортонормированном
евклидовом ЛП. Построим единичные векторы |
в |
новом базисе (базисе |
→ |
→ |
|
собственных векторов матрицы А). Получаем I и |
J |
- новые единичные . И |
→ |
|
|
|
|
|
в этом новом базисе вектор r =( х’1 х’2)T. Но в этом случае и квадратичная |
|||||
→ |
→ |
→ |
→ |
|
→ |
форма примет новый вид ф(х1,х2)= (А(х’1 I |
+ х’2 J ), х’1 I |
+ х’2 J ). Но т.к. |
I |
||
→ |
|
→ |
→ |
→ |
|
и J - собственные для А, то получаем ф(х1,х2)=( (х’1 к1 I |
+ х’2 к2 J ), х’1 I + |
||||
→ |
|
|
|
|
|
х’2 J )= к1(х’1)2+ к2(х’2)2 . Получен новый вид квадратичной формы, |
в |
||||
котором отсутствует произведение текущих координат. Такой вид носит название – канонического вида квадратичной формы.
Т.о. в декартовом базисе собственных нормированных векторов матрицы квадратичной формы сама форма принимает канонический вид.
Остается важная задача: установить связь между координатами
→
вектора r =( х1 х2)T начального базиса i,j и координатами того же вектора
→
r =( х’1 х’2)T в новом базисе нормированных собственных векторов матрицы квадратичной формы.