Гранична відносна погрішність наближення а* визначається відношен-

Структура погрішності

Є чотири джерела погрішності результату: математична модель, початкові дані, наближений метод і округлення при обчисленнях (рис. 2.2).

Рис. 2.2 Структура погрішності результату чисельного рішення

Один з типів погрішностей обумовлений неадекватністю вибраної математичної моделі початкової фізичної. Ця неадекватність більшою чи меншою мірою властива всім приблизно вирішуваним задачам. Дана погрішність з’являється неусувною, і вона визначається на восьмому етапі рішення задачі (див. рис. 1.1). Решта трьох типів погрішностей з’являється суто обчислювальними і обумовлені наступними причинами.

Початкові дані нерідко неточні; наприклад, це можуть бути експериментально зміряні величини. Так, наприклад, в прецизійних фізичних вимірюваннях точність доходить до 10-12, Та вже характерна астрономічна і геодезична точність рівна 10-6, а в багатьох фізичних і технічних задачах погрішність вимірювання буває 1 – 10%. Погрішність початкових даних δ x приводить до так зва-

19

ної неусувної (вона не залежить від математика) погрішності рішення

.δ y = A(x +δ x)− A(x)

Якщо усунути невизначеність в початкових даних, наприклад, шляхом їх фіксації і знайти рішення за допомогою якого-небудь чисельного методу, то вийде результат, не в точності відповідний початковим даним. Це є погрішність чисельного або якого-небудь іншого наближеного методу (наприклад, приблизно-аналітичного); саме такі погрішності оцінюватимуться при розгляді чисельних методів. Ці оцінки можуть виходити до виконання обчислень (апріорні оцінки) і після них (апостеріорні оцінки).

Погрішність методу пов'язана з тим, що точні оператор і початкові дані замінюються наближеними. Наприклад, замінюють інтеграл сумою, похідну – різницею, функцію – багаточленом або будують нескінченний ітераційний процес і обривають його після кінцевого числа ітерацій. Методи будуються звичайно так, що в них входить деякий параметр; при прагненні параметра до певної межі погрішність методу прагне до нуля, так що цю погрішність можна регулювати.

Погрішність методу доцільно вибирати так, щоб вона була в 2–5 разів менше неусувної погрішності. Велика погрішність методу знижує точність відповіді, а помітно менша – невигідна, бо це звичайно вимагає значного збільшення об'єму обчислень.

Підрахунки, як на папері, так і на ЕОМ виконують із певним числом значущих цифр. Це вносить у відповідь погрішність округлення, яка накопичується в ході обчислень.

Комп'ютерне представлення дійсних чисел обмежене фіксованою точністю мантиси. Істинне значення не завжди точно зберігається в комп'ютерному уявленні. Фактично число, яке зберігається в комп'ютері, може усікатися або містити закруглену останню цифру. Таким чином, оскільки диск комп'ютера працює тільки із обмеженою кількістю цифр в машинних числах, вводиться помилка округлення і розповсюджується на подальші підрахунки.

При рішенні великих задач виконуються мільярди дій. Здавалося б, початкові помилки зростуть в 109 разів, і погрішність відповіді буде величезною. Проте при окремих діях фактичні погрішності чисел можуть мати різні знаки і компенсувати один одного. Згідно статистиці при N однакових діях середнє

значення сумарної помилки перевищує одиничну приблизно в N раз, а вірогідність помітного ухилення сумарної помилки від середнього значення дуже мала. Отже, якщо немає систематичних причин, то випадкове накопичення помилок не дуже істотне.

Відзначимо, що в більшості прикладних задач неприємностей можна уникнути, проводячи розрахунок із подвійною або потрійною точністю. Така можливість реалізована в хороших математичних забезпеченнях ЕОМ; це у декілька разів збільшує час розрахунку, зате дозволяє користуватися вже відомими алгоритмами, а не розробляти нові.

20

При будь-яких розрахунках справедливе правило: треба утримувати стільки значущих цифр, щоб погрішність округлення була істотно менше за всю решту погрішностей.

Значущі цифри

Значущими цифрами наближеного числа називають всі цифри в його записі, починаючи із першої ненульової зліва.

Перші п значущих цифр наближеного числа називаються вірними, якщо абсолютна погрішність цього числа не перевищує половини одиниці розряду, відповідного п-ій значущій цифрі, вважаючи зліва направо. Зайві збережені цифри, крім вірних, називаються сумнівними.

Обчислити наближене число із точністю ε = 10−n означає, що необхідно зберегти вірною значущу цифру, що стоїть в п-м розряді після коми.

На практиці виникає необхідність в округленні наближеного числа, тобто заміні його числом із меншою кількістю значущих цифр. Для округлення числа до п значущих цифр слід відкинути всі його цифри, що стоять праворуч від п-ої значущої цифри. При цьому:

а) якщо перша із відкинутих цифр менше 5, то десяткові знаки, що залишилися, зберігаються без зміни;

б) якщо перша із відкинутих цифр більше 5 або рівна 5 і серед решти відкинутих цифр є ненульові, то до останньої цифри, що залишилася, додається одиниця;

в) якщо перша із відкинутих цифр рівна 5 і решта відкинутих цифр нульових, то остання цифра, що залишилася, не змінюється, якщо вона парна, і збільшується на одиницю, якщо вона непарна.

Абсолютна і відносна погрішності записуються у вигляді чисел із однією або двома значущими цифрами, і вони округляються з лишком. У записі наближених чисел вони указуються так:

a = a * ± a = a* (1 ±δ ). (2.13) Наприклад, π = 3,141 ±0,0006 ; π = 3,141(1 ±0,02%).

Якщо в записі числа не вказано, то мається на увазі, що а має точність половини одиниці (1/2 од.) молодшого розряду. Так, для а=5,63 абсолютна погрішність = 0,005 .

Розповсюдження помилки

Розглянемо, як помилка може розповсюдитися в подальших обчисленнях. Розглянемо складання двох чисел р і q (істинні значення) із наближеними значеннями р* і q*, які містять відповідно помилки εp і εq . Почнемо із і, їх сума

εq . Це стає зрозуміло, якщо подивитися на відносну помилку. Перегрупувавши члени в (2.15), одержуємо:

помилкам при наближеннях р* і q*). Потім, виробивши ці заміни в (2.17), одержимо просте співвідношення:

Це показує, що відносна помилка твору pq приблизно рівна сумі відносних помилок наближень p* і q* .

Одиниці вимірювання інформації

При записі і обробці інформації на комп'ютері, кількість інформації вимірюється в байтах і бітах.

Битий (англ. bit, від binary – двійковий і digit – знак), якнайменша одиниця кількості інформації, двійкова одиниця. Битий в обчислювальній техніці – двійкова цифра, двійковий розряд. Число біт пам'яті ЕОМ визначає максимальну кількість двійкових цифр, що вміщаються нею; число біт даних є кількість двійкових розрядів, в яких вони записані. Крупніші одиниці вимірювання: кілобіт (1 Кбіт = 210 біт = 1024 біт), мегабіт (1 Мбіт = 220 біт = 1048576 біт).

Байт (англ. byte), одиниця вимірювання кількості інформації при її зберіганні, передачі і обробці на ЕОМ. Складається з 8 біт (двійкових одиниць). Інформація, що міститься в одному байті звичайно достатня для представлення однієї букви, цифри, розділового знаку або 2 десяткових цифр. Крупніші одиниці вимірювання: кілобайт (1 Кбайт = 210 байт = 1024 байти), мегабайт (1 Мбайт = 1024 Кбайт = 220 байт = 1048576 байт), гігабайт (1 Гбайт = 1024

Мбайт = 230 байт = 1073741824 байт).

22