5) Загальне рівняння ліній другого порядку

Загальне рівняння 2-го степеню з двома невідомими має вигляд

Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0,

при цьому вважається, що хоча б один із коефіцієнтів А, В, С не дорівнює нулю.

Лінії, що відповідають цьому рівнянню, називаються кривими 2-го порядку.

Найпростішою такою кривою є коло.

6) Коло

Аналітично коло є геометричним місцем точок площини, відстань яких до заданої точки є постійною і дорівнює . Канонічне рівняння кола з центром в точці і радіусоммає вид

Зокрема, якщо центр кола розташований в початку координат, тобто , то рівняння кола приймає найпростіший вид

7) Еліпс

Аналітично він є геометричним місцем точок площини, сума віддалей яких до двох заданих точок і (фокусів) тієї ж площини є величина стала. Цю сталу позначають , відстань між фокусами , причому .

8) Гіпербола

Аналітично це геометричне місце точок площини, для яких абсолютне значення різниці віддалей до двох даних точок (і– фокуси) є величина стала, яка позначається,, причому.

Найпростіше (канонічне) рівняння гіперболи записується так:

9) Парабола

Пара́бола  — геометричне місце точок, що рівновіддалені від точки і прямої.Одна з кривих другого порядку.

 (або , якщо поміняти місцями осі).

10) Загальне рівняння площини в просторі

11) Взаємне розташування двох площин

Розглядаються деякі співвідношення, які виражають певні моменти взаємного розташування двох площин:

Паралельність

У випадку паралельності площин 

Перетинання

Якщо дві площини перетинаються так, що кут між їх нормальними векторами дорівнює , то

.

Перпендикулярність

У випадку перпендикулярності площин 

12) Рівняння прямої в просторі

Рівняння прямої, що проходить через дві різні точки в просторі

Якщо пряма, що проходить через дві точки A(x1, y1, z1) і B(x2, y2, z2), такі що x1 ≠ x2, y1 ≠ y2 і z1 ≠ z2 то рівняння прямої можна знайти, якщо використати наступну формулу

Параметричні рівняння прямої

Параметричні рівняння прямої можуть бути записані у вигляді:

Каноническое уравнение прямой в пространстве

4) Взаємне розташування двох прямих

Взаємне розташування двох прямих ліній на площині

Дві прямі на площині можуть бути паралельні, перпендикулярні, збігатися або перетинатися. Якщо прямі перетинаються, то нас цікавитиме кут між цими прямими та координати точки перетину. У цьому розділі всі основні формули взаємного розташування двох прямих на площині будуть виведені для рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом, а для інших типів рівняння прямої – зведені у табл. 3. Нехай прямі тазадані рівняннями з кутовим коефіцієнтомта. Тутта– кути нахилу прямих до осі абсцис, тобто, а. Нехай– один із кутів між цими прямими. З рис. 5 видно, що кут. Отже,. Якщо підставити в останню формулу значення,, то одержимо формулу для обчислення кута між двома прямими .                                                  (2.1) Коли у формулі (2.1) поміняти місцями коефіцієнтита, то знайдемо значенняіншого  кута між цими прямими, суміжного до кута .

Рис. 5. Перетин прямих ліній на площині

Прямі тапаралельні, якщо. Отже, умова паралельності двох прямих на площині має вигляд .                                                            (2.2) Прямі будуть перпендикулярними, якщо у формулі (2.1)не існує, тобтоумова перпендикулярності двох прямих   або .                                                         (2.3) Якщо точкає точкою перетину прямихта, то її координати можна знайти із системи рівнянь.

Взаємне розташування двох прямих у просторі

Розглянемо деякі співвідношення, які виражають особливості взаємного розташування двох просторових прямих

і :

якщо кут між двома прямими  дорівнює , то

якщо прямі паралельні, то

;

якщо прямі перпендикулярні, то

якщо дві прямі знаходяться в одній тій же площині (компланарні), то

Якщо при цьому , то прямі, залишаючись компланарними,перетинаються.

Якщо  (– некомпланарні), то прямімимобіжні.

Якщо прямі зливаються (співпадають), то