11) Основні поняття векторів

Величина, яка повністю характеризується своїм числовим значенням в обраній системі одиниць, називається скалярною або скаляром. Такими, наприклад, є маса тіла, об'єм тіла, температура середовища й т.п. Скаляр визначається числом, позитивним або негативним, або рівним нулю. Величина, яка крім числового значення характеризується напрямком, називається векторною або вектором. До їх числа відноситься сила, переміщення, швидкість і т.д.

Вектор визначається числом і напрямком.

Геометрично вектор зображується спрямованим відрізком простору; при цьому використається позначення а =,де точка А - початок відрізка, а точка В - його кінець.

Під модулем (довжиною) вектора а: │а │ = а розуміють числове значення його, без зазначення напрямку. (Природно, ││ позначає модуль вектора ). Вектор 0, модуль якого дорівнює нулю, називається нульовим або нуль-вектором (напрямок нульового вектора довільний).

Два вектори а й b вважаються рівними, якщо вони розташовані на паралельних або співпадаючих прямих (паралельність у широкому змісті) і мають однакову довжину й однаково спрямовані. Ми вмовимося не розрізняти рівні вектори, і таким чином, приходимо до поняття вільного вектора. Іншими словами, вільний вектop допускає перенос його в будь-яку точку простору, за умови збереження довжини й напрямку. Зокрема, для вільних векторів можна забезпечити загальну початкову їх точку. Якщо ненульовий вектор а розділити на його довжину а =а (тобто помножити на скаляр 1/а), то ми одержимо одиничний вектор e, так званий орт, того ж напрямку: е = а/а. Звідси маємо стандартну формулу вектора

a = ае. Формула формально справедлива також і для нульового вектора а = 0, де а = 0 й e — довільний орт.

Одиничний вектор (орт) - вектор, довжина якого рівна одиниці.

Колінеарні вектори

Два вектори а =йb =називаються колінеарними, якщо вони паралельні в широкому змісті (тобто розташовані або на паралельних прямих, або ж на одній і тій же прямій).

Теорема. Два ненульових вектори а й b колінеарні тоді й тільки тоді, коли вони пропорційні, тобто b = ka (1) (k — скаляр).

Якщо виконано рівність (1), то колінеарність векторів a й b безпосередньо випливає зі змісту множення векторів на скаляр.

Компланарні вектори

Означення. Три вектори а, b і с називаються компланарними, якщо вони паралельні деякій площині в широкому розумінні (тобто або паралельні площині, або лежать у ній).

Можна сказати також, що вектори а, b і с компланарні тоді й тільки тоді, коли після приведення їх до спільного початку вони лежать в одній площині.

За змістом означення трійка векторів, серед яких є хоча б один нульовий, компланарна.

Теорема. Три ненульових вектори а, b і с компланарні тоді й тільки тоді, коли один з них є лінійною комбінацією інших, тобто, наприклад, с = k a + l b, ( k , l – скаляри).