2) Основні види рівнянь прямої на площині

1.3. Рівняння прямої лінії у відрізках

Розглянемо повне рівняння прямої (1.2). Нехай всі коефіцієнти тавідмінні від нуля. Тоді це рівняння можна перетворити так:або. Позначимо.  Одержимо таке рівняння  прямої лінії:.                                                           (1.4) Рівняння (1.4) називаєтьсярівнянням прямої "у відрізках". Зауважимо, що коефіцієнти тау рівнянні (1.4) мають простий геометричний зміст: за абсолютним значенням вони дорівнюють довжинам відрізків, які відтинає пряма відповідно на осяхта(відрізки відраховують від початку координат) (рис. 2).

Рис. 2. Геометрична інтерпретація рівняння прямої лінії, що задається рівнянням "у відрізках"

1.4. Канонічне та параметричне рівняння прямої лінії. Рівняння прямої лінії, що проходить через дві точки

Будь-який ненульовий вектор , що паралельний до даної прямої, будемо називатинапрямним вектором цієї прямої. Нехай – деяка точка, що лежить на прямій(рис. 3). Очевидно, що біжуча точкатакож буде належати цій прямій, якщо векторитабудуть колінеарні, тобто лише тоді, коли координати цих векторів  пропорційні.                                                   (1.5) Рівняння (1.5) називаєтьсяканонічним рівнянням прямої. У рівнянні (1.5) один із знаменників абоможе дорівнювати нулю. У цьому випадку пряма буде паралельною до осі( якщо) або до осі(якщо).

Рис. 3. Геометрична інтерпретація рівняння лінії, що задається напрямним вектором

Якщо у рівнянні (1.5) прийняти за параметр величину, що стоїть у правій та лівій частинах рівняння, то отримаємо співвідношення,                                                      (1.6) що називаєтьсяпараметричним рівнянням прямої. Якщо на прямій задані дві точки та, то в рівнянні (1.5) за напрямний вектор можна взяти вектор, а за точкуодну із точокабо. Тоді (1.8) запишеться так:.                                                 (1.7) Рівняння (1.7) називаєтьсярівнянням прямої, яка проходить через дві точки.

1.5. Рівняння прямої лінії з кутовим коефіцієнтом

Розглянемо довільну пряму , не паралельну до осі. Назвемокутом нахилу прямої до осі  кут, на який треба повернути вісь проти  годинникової стрілки, щоб вона збіглася з цією прямою. Якщо пряма паралельна до осіабо збігається з нею, то кут нахилу цієї прямої до осівважатимемо таким, що дорівнює нулю. Назвемокутовим коефіцієнтом прямої  тангенс кута нахилу прямої до осі . Якщо позначити кут нахилу прямої до осічерез, а кутовий коефіцієнт через, то отримаємо співвідношення. Зауважимо, що, якщо– напрямний вектор прямої, то.                    (1.8) Запишемо рівняння прямої у канонічному вигляді (1.5):або.Враховуючи формулу (1.8), знахо­димо рівняння.                 (1.9) Якщо в (1.9) позначити через, то це рівняння перетвориться до вигляду.                         (1.10) Рівняння (1.10) називаєтьсярівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом. У цьому рівнянні – кутовий коефіцієнт прямої, а– точка, в якій пряма перетинає вісь ординат (рис. 4).