12. Лiнiйнi дiї з векторами у координатній формі

Колінеарність: Вектори є колінеарними тоді і тільки тоді, коли їхній векторний добуток дорівнює нулю.

Рівність векторів: Нехай i— два вектори площини (або простору). Кажуть, що вектор || дорівнює вектору, і записують=, якщо: 1)довжина відрізка AB дорівнює довжині відрізка CD; 2)променіAB i CD однаково напрямлені.

Лiнiйнi дiї з векторами у координатній формі :

Додаваня векторів

Правило трикутника: Сумою двох векторів називається вектор, який з’єднує початок вектораз кінцем вектора(початок вектораспівпадає з кінцем вектора).

Суму двох векторів можна знайти і за правилом паралелограма: якщо вектори прикладені до спільного початку, то їх сумою є вектор, який співпадає з діагоналлю паралелограма, побудованого на векторах, і який виходить із спільного початку.

Якщо є більше двох векторів, то для знаходженням їх суми використовують правило многокутника.

Віднімання векторів

Різницею двох векторів називається вектор, сума якого з векторомдорівнює вектору.

Початок вектора є кінцем вектора, який віднімається. Кінець вектораспівпадає з кінцем вектора, від якого віднімають вектор.

У паралелограма, який побудовано на двох векторах , одна діагональ - сума цих векторів, а друга – їх різниця

Множення вектора на число

Добутком ненульового вектора на число k0 наз. вектор k.

Вектор kмає довжину, він співнаправлений (має однаковий напрям) з вектором, якщо k>0 та протилежно направлений вектору, якщо k<0.

13. Скалярним добутком векторів:

Скалярним добутком двох ненульових векторів називається число, яке дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними:

Якщо вектор має координати (х₁, y₁), а вектор координати (х₂,y₂), то:

Наслідок І. ; ІІ. Якщо , то.

Властивості

1. Комутативність . 2. Лінійність за кожним співмножником ,де – довільне дійсне число. 3. Дистрибутивність щодо додавання . 4. Скалярний добуток векторів тадорівнює нулю тоді і лише тоді, коли вектори ортогональні або один із них дорівнює нуль-вектору ,    або ,   або.

Координати алгебраїчної суми скінченної кількості векторів дорівнюють такій же алгебраїчній сумі відповідних координат цих векторів.

Обчислення кута міждвома векторами.

За означенням скалярного добутку .

Отже, якщо , то

тобто, косинус кута між ненульовими векторами дорівнює скалярному добутку цих векторів, поділеному на добуток їхніх довжин.

Нехай у просторі маємо прямокутну декартову систему координат, і нехай задано вектори задані своїми координатамиi. Тоді як відомо

, ,, дістанемо формулу

Ця формула дає змогу обчислити косинус кута між векторами за координатами цих векторів.

Проекція вектора на вісь дорівнює добутку довжини цього вектора на косинус кута між вектором і віссю:

пр 

Проекція на вісь суми векторів дорівнює алгебраїчній сумі проекцій на вісьвекторів-доданків:пр   

Проекція на вісь добутку векторана скалярдорівнює добуткові цього ж скаляра на проекцію вектора на вісь: