Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный авиационный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Vischa_matematika_Chastina_2_Denisyuk_Repeta

.pdf

Скачиваний:

918

Добавлен:

19.02.2016

Размер:

4.86 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 288 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Т.4 ВПРАВИ ДЛЯ АУДИТОРНОЇ І САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

Виконайте дії:


1. (2 +5i) +(2−2i) .											2. (1−i)2 .
4. i +i11 +i21 +i31 +i41 .											5. (2−3i)(4−i) .
7.	1		+	1	.	8.		1 +i		.	9.	2 − 3i		.
				i5
	i3								i			4 +5i
11.		(1−2i)(2 +i)							.		12.		3 − i			.
				3 − 2i									3 + i
			1			1									3
14.					+						15.		1−i
							.								.
	1+ 2i					2−i
													1+i

3. (3−4i)(3+ 4i) .

6. i i2 i3 i4 .

2 + 3i

10. (4 +i)(2−2i) .

13. (1−i)3 − (1+i)3 .

16.i5 + 2 2 .i19 +1

Знайдіть модуль, головне значення аргументу комплексних чисел, зобразіть їх на комплексній площині і запишіть у тригонометричній і показниковій формах:

17. z = −i . 18. z =1−i 3 . 19. z = − 3 +i . 20. z = −4 + 4i .

Виконайте дії і запишіть результати в алгебраїчній формі.

21.2 ( cos18° +i sin18° ) 3(cos 27° +i sin 27° ).

22.(5 +5i) (cos 15° + i sin 15° ) .

Піднесіть до вказаного степеня, результат запишіть в алгебраїчній формі.

23. (1+i)20 .

24. ( 3 + i)10 .

25. ( 5 2 (cos 6° +i sin 6° ) )30 .

Знайдіть в алгебраїчній формі всі значення коренів.

26. 6 1 27. 3 1 .

28. 4 −1 .

29. 3 i .

30. 4 cos 120° +i sin 120° .

Знайдіть усі розв’язки рівнянь.

31.	z3	+ 27 = 0 .	32.	z4 −81 = 0 .
33.	z6	+64 = 0 .	34.	z4 +9z2 + 20 = 0 .

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

Відповіді

	1.			4 + 3i . 2.						−2i .					3.		25.	4. i . 5. 5 − 14i .							6.	–1.			7.		0. 8.			1− i .				9. −		7	−	22			i .
																																								41			41
10.		1		+	21 i .			11.			18				−	1	i .	12.			0, 5 − 0, 5i			3 .		13. −4i .						14.		0, 6 − 0, 2i .							15. i .
10.				+	21 i .			11.							−		i .	12.			0, 5 − 0, 5i			3 .		13. −4i .						14.		0, 6 − 0, 2i .							15. i .
		68			68								13			13
														π					π						π						π								5π				5π
16. −2 +1,5i . 17.								cos			−					+ i sin		−			. 18. 2 cos			−		+ i sin				−			. 19.		2		cos			+ isin						.
16. −2 +1,5i . 17.								cos			−					+ i sin		−			. 18. 2 cos			−		+ i sin				−			. 19.		2		cos			+ isin						.
														2					2												3								6				6
														2					2						3						3								6				6
20.		4(cos			3π		+ i sin			3π		) .			21.		3 2 (1 + i) . 22.					2,5(1 + i				3) . 23. –1024.									24.				512(1 − i				3) .
20.		4(cos			4		+ i sin		4			) .			21.		3 2 (1 + i) . 22.					2,5(1 + i				3) . 23. –1024.									24.				512(1 − i				3) .
					4				4
								1						3				2				1					1													3			1
25. –64.				27. 1; −					± i						. 28. ±					(1	± i) . 29.		(		3 + i),				(−		3 + i),			− i . 30. ±							+ i			,
								2			2							2				2					2													2			2
								2			2							2				2					2													2			2
		1			3			31.								3				3) . 32.								33.
±	−		+ i				.	31.					–3,				(1 ± i			3) . 32.		± 3; ±3i .						33.			±2i ;			± (		3 + i);				± (	3 − i).
		2			2											2
		2			2											2
34. ±3i;				± i		5 .

Т.4 ІНДИВІДУАЛЬНІ ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ

1.1. Знайдіть дійсні та уявні частини комплексних чисел.

1.1.1. z = i2+−2i + (i −1)4 .

1.1.3. z = (2−i)3 + 2i +3 . (i + 2)2

1.1.5. z = 1i +−1i −12−−23ii .

1.1.7. z = (1−i)(2 +3i) +i12 . 2i +1

1.1.9. z = (4−i)(2i +1) +i21 . i

1.1.11. z = (2 +i)(4 +5i) +i32 . 2i −1

(1−i)4

1.1.13. z = (3i −1)(i +3) .

1.1.2.

z =

2 +i

+(2i −1)3 .

3i −1

1.1.4.

z =

1−i5

+1)5

1.1.6.

z =

1−i

1.1.8. z =

(2 +i)4

(2i −1)(i + 2)

1.1.10. z =

(2−i)4

(2i −3)(i + 4)

1.1.12. z =

2−i

−

3−4i

2−3i

i + 2

1.1.14. z =

2 +i

2−i

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

1.1.15. z = 44i+−i1 +(i −2)3 .

1.1.17. z = (1−i9 )(3+i) . (i −3)3

1.1.19. z = 1i++22i + 12−−2ii .

1.1.21.		3	−i 4		1
	z =			−			.
						7
		3			i
			+i

1.1.23.	z =	(1+3i)(5−2i)					−i46 .
1.1.23.	z =						−i46 .
		4i −1
1.1.25. z =		(i −1)(2i +5)				.
1.1.25. z =						.
		(3−i)4
1.1.27.	z =	−2 +i	+(3i −1)3 .
		i −3
1.1.29. z =		1+3i		+	3−i			.
1.1.29. z =		(i + 2)2		+	(2−i)2			.
		(i + 2)2			(2−i)2

1.1.16. z = (1−i3 )(2 +i) . (i + 2)4

1.1.18. z = (4−i)(2 +5i) +i51 . 3i +1

(1−2i)4

1.1.20. z = (i +3)(3i +1) .

(1+ 2i)4

1.1.22. z = (i + 4)(4i +1) .

1.1.24.

z =

3−2i

4−3i

2−i

2i +3

1.1.26.

z =

1+ 2i

i18

1−2i

1.1.28. z =

(1+i11 )(2 +3i)

(2i −1)2

1.1.30.

111

z =

−i)

(i +1)3

1.2. Використовуючи формулу Муавра, знайдіть дійсні та уявні частини комплексних чисел.

																11
1.2.1. (1−	3i)8 .	1.2.2. −		1			−			1					i	.
1.2.1. (1−	3i)8 .	1.2.2. −					−					2			i	.
					2							2
	12			1				3						12
1.2.4. (1+	3i) .	1.2.5. −				+						i		.
1.2.4. (1+	3i) .	1.2.5. −				+						i		.
				2				2
				2				2
1.2.7. (1− i)16 .		1.2.8. (	3 − i)7 .
	18				3						1				7
1.2.10. (−1− i) .		1.2.11.	−						+						.
1.2.10. (−1− i) .		1.2.11.	−						+						.
					2
					2						2i
	13				3					1					13
1.2.13. (1− i) .		1.2.14. −						+					i .
1.2.13. (1− i) .		1.2.14. −						+					i .
					2					2
					2					2
1.2.16. (	3 + i)13 .	1.2.17. (−			2 −					2i)12 .

	1			3					9
1.2.3.		−						i .
1.2.3.		−						i .
	2			2
	2			2
		1						3				11
1.2.6.	−			−							i	.
1.2.6.	−			−							i	.
		2				2
		2				2
1.2.9. (−1+ i)20 .
				3						1			9
1.2.12. −							−					i .
1.2.12. −							−					i .
				2						2
				2						2
			1							1			i	10
1.2.15. −						+								.
1.2.15. −				2		+				2				.
				2						2
		3				1					8
1.2.18.					+				i .
1.2.18.					+				i .
		2				2
		2				2

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

									8
1.2.19. (−	3 − i)14 .				1.2.20.	1	−		1	.
						2
									2i
1.2.22. (2 − 2i)8 .					1.2.23. (−1−			3i)9 .
			9			3		1	14
1.2.25. (	2 +	2i)		.	1.2.26.		+		i .

						2		2

1.2.28. (2	3 − 2i)6 .				1.2.29. (−	2 +			2i)8 .

1.3. Знайдіть усі корені з комплексного числа.

1.2.1.	4 −16 .		1.2.2. 3 −8 .
1.2.4. 3 −1+ i .			1.2.5. 6 −729 .
1.2.7. 6 64 .			1.2.8.	3 −125 .
1.2.10.	4 −256 .		1.2.11.	4 81i .
1.2.13.	3 −64i .		1.2.14.	3	−1− i .
1.2.16.	3 27i .		1.2.17.	3	−27 .
1.2.19.	3	−8i .	1.2.20.	6	−64 .
1.2.22.	3	−8 + 8i .	1.2.23.	3	−216 .
1.2.25.	4	−625 .	1.2.26.	3	−216i .
1.2.28.	3 216i .		1.2.29.	6	−4096 .

1.2.21. (		2 −				2i)10 .
1.2.24. (2 − 2						3i)7 .
1.2.27.	1			+	1			12
								.
		2
							2i
			3				1 10
1.2.30. −					−			.

			2
							2i

1.2.3. 4 81 .

1.2.6. 5 32 .

1.2.9. 3 64i .

1.2.12. 3 125i .

1.2.15. 4 −81 .

1.2.18. 4 256 .

1.2.21. 6 4096 .

1.2.24. 4 625 .

1.2.27. 4 −1/16 .

1.2.30. 3 8i .

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

Модуль

ІНТЕГРАЛЬНЕЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЇ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

Загальна характеристика модуля. У цьому розділі ви-

вчаються методи інтегрування, застосування визначених інтегралів.

СТРУКТУРА МОДУЛЯ

Тема 1. Невизначений інтеграл.

Тема 2. Многочлени. Раціональні функції. Тема 3. Інтегрування раціональних виразів. Тема 4. Інтегрування тригонометричних функцій. Тема 5. Інтегрування ірраціональних функцій. Тема 6. Визначений інтеграл.

Тема 7. Невласні інтеграли.

Тема 8. Застосування визначеного інтеграла.

Базисні поняття. 1. Первісна. 2. Невизначений інтеграл. 3. Інтегральна сума. 4. Визначений інтеграл. 5. Невласний інтеграл. 6. Збіжність невласного інтеграла.

Основні задачі. 1. Знаходження невизначених інтегралів. 2. Обчислення визначених інтегралів. 3. Застосування визначених інтегралів. 4. Дослідження невласних інтегралів.

ЩО ПОВИНЕН ЗНАТИ ТА ВМІТИ СТУДЕНТ

1.Знання на рівні понять, означень, формулювань

1.1.Первісна.

1.2.Невизначений інтеграл, властивості.

1.3.Таблиця невизначених інтегралів.

1.4.Методи інтегрування (безпосереднє інтегрування, метод підстановки (заміни змінної), інтегрування частинами).

1.5.Задача про площу криволінійної трапеції.

1.6.Означення визначеного інтеграла, властивості.

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

1.7.Інтеграліззмінною верхньоюмежею, формулаНьютона—Лейбніца.

1.8.Невласні інтеграли першого і другого роду.

1.9.Обчислення площ, мас, координат центрів мас плоских областей; довжин дуг плоских кривих, об’ємів тіл.

2.Знання на рівні доведень та виведень

2.1.Властивості невизначеного та визначеного інтегралів.

2.2.Формули заміни змінної, інтегрування частинами.

2.3.Формула Ньютона—Лейбніца.

2.4.Обчислення довжини дуги плоскої кривої.

2.5.Обчислення об’єму тіла за заданим поперечним перерізом.

2.6.Обчислення об’ємів тіл обертання.

3.Уміння в розв’язанні задач

3.1.Зводити інтеграли до табличних, використовуючи властивості лінійності і внесення функції під знак диференціала.

3.2.Застосовувати потрібну заміну в інтегралах відомих типів.

3.3.Інтегрувати найпростіші вирази, що містять квадратний тричлен.

3.4.Інтегрувати частинами. Знати класи функцій, які інтегрують частинами.

3.5.Інтегрувати раціональні дроби.

3.6.Інтегрувати ірраціональні вирази.

3.7.Інтегрувати тригонометричні функції.

3.8.Обчислювати визначений інтеграл, використовуючи формулу Нью- тона—Лейбніца, заміну змінної, інтегрування частинами.

3.9.Обчислювати чи досліджувати на збіжність невласні інтеграли.

3.10.Обчислювати площу, масу, координати центра мас плоскої області, довжину дуги плоскої кривої, об’єм тіла.

Тема 1. НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ

Поняття первісної і невизначеного інтеграла. Таблиця основних інтегралів. Методи інтегрування: безпосереднє інтегрування, метод підстановки (заміни змінної), інтегрування частинами. Класи функцій, які інтегрують частинами.

Література: [1, розділ 6, п. 6.1—6.3], [2, розділ 2, п. 2.1], [3, розділ 7, § 1], [4, розділ 7, § 22], [6, розділ 8], [7, розділ 10, § 1—6], [9, § 29—30].

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

	Т.1	ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ
1.1. Поняття первісної та невизначеного інтеграла

Функцію F(x)		називають первісною функції					f (x) на проміжку (a,b) ,
якщо F(x) диференційовна на (a,b) і
			F ′(x) = f (x) , x (a, b) .


Сукупність усіх первісних				F (x) + C, C R			функції f (x) на	(a,b)
називають невизначеним інтегралом функції f (x) і записують так:
			∫ f (x)dx = F (x) + C .
Термін «інтеграл» походить від латинського слова integralis — цілісний.
Символ ∫ (курсивне s) — початкова літера слова summa (сума).
Властивості невизначеного інтеграла:
1. (∫ f (x)dx)′ = f (x) .					2. ∫ dF (x) = F (x) + C .
3. d(∫ f (x)dx) = f (x)dx .					4. ∫λf (x)dx = λ∫ f (x)dx , λ = const .
5. ∫ ( f (x) ± g(x))dx = ∫ f (x)dx ±∫ g(x)dx .
6. Якщо ∫ f (x)dx = F (x) + C				і u = ϕ(x) — довільна функція, що має
неперервну похідну, то
Зокрема,			∫ f (u)du = F (u) + C .
Зокрема,
			∫ f (ax + b)dx =		1	F(ax + b) + C.		(2.1)
			∫ f (ax + b)dx =			F(ax + b) + C.		(2.1)
					a

Тут a і b — довільні сталі, a ≠ 0 .

Остання властивість (її називають інваріантністю формули інтегрування) дуже важлива. Вона означає, що та чи інша формула для невизначеного інтеграла справджується незалежно від того, є змінна інтегрування незалежною змінною чи довільною функцією від неї, що має неперервну похідну.

Операцію відшукання невизначеного інтеграла від функції називають

інтегруванням цієї функції.

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

1.2. Таблиця основних інтегралів

Інтеграли цієї таблиці називаються табличними, і їх треба знати з двох

причин. По-перше, мета існуючих методів інтегрування полягає в тому,

щоб звести шуканий інтеграл до табличного. Отже, табличний інтеграл

треба вміти розпізнавати. По-друге, внаслідок інваріантності кожен табли-

чний інтеграл «породжує» безліч інтегралів, що легко відшукуються на ос-

нові табличного.

Нехай u(x) — довільна функція, що має на деякому проміжку непере-

рвну похідну u′(x) . Тоді на цьому проміжку справджуються такі формули,

зведені у табл. 2.1:

Таблиця 2.1

1. ∫ 0du = C .

2. ∫ du = u + C .

3. ∫u n du = u n+1

+ C , n ≠ −1 .

4. ∫ du = ln | u | +C.

n + 1

∫ a

+ C .

6. ∫eu du = eu + C .

ln a

∫sin udu = − cos u + C .

8. ∫cos udu = sin u + C .

∫

= tg u + C .

10.

∫

= − ctg u + C .

cos

sin

u − a

11. ∫ u 2 + a 2

= a arctg a

+ C .

12.

∫ u 2 − a 2 = 2a ln u + a + C .

13. ∫

= arcsin u

+ C .

14.

∫

= ln u +

u2 ± a2 + C.

− u

± a

15. ∫sh udu = ch u + C.

16.

∫ ch udu = sh u + C .

17. ∫

du2

= th u + C .

18.

∫

du2

= − cth u + C .

19. ∫ tg udu = − ln | cosu | + C.

20.

∫ctg udu = ln | sin u | + C.

21. ∫

= ln | tg u

| + C.

22.

∫

= ln | tg(u

π ) | + C.

sin u

cos u

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

Основні методи інтегрування:

1.Метод безпосереднього інтегрування.

2.Метод підстановки (заміни змінної).

3.Метод інтегрування частинами.

1.3. Метод безпосереднього інтегрування

Цей метод базується на використанні таблиці інтегралів, властивостей лінійності інтеграла та інваріантності формул інтегрування.

1.4. Метод підстановки (заміни змінної). Внесення функції під знак диференціала

Суть методу підстановки полягає в уведенні нової змінної. При знаходженні інтеграла ∫ f (x) dx застосовують підстановки таких двох видів:

x = φ(t);

ω(x) = t.

Тут φ(t), ω (x) — неперервно-диференційовні функції. У першому випадку dx = φ′(t)dt і

∫ f (x)dx = ∫ f (φ (t))φ′(t)dt .

Другу підстановку доцільно виконувати, якщо підінтегральний вираз можна подати у вигляді

f (x)dx = g (ω (x)) ω′(x)dx,

тоді

∫ f (x)dx = ∫ g(ω (x)) ω′(x)dx = ∫ g(ω (x))d ω(x) = ∫ g(t)dt . (2.2)

У цьому випадку функція ω′ (x) вводиться під знак диференціала:

ω′(x)dx = d (ω (x)) = dt .

Підстановки слід підбирати так, щоб одержані інтеграли були табличними або зводились до простіших інтегралів.

Спільним в обох способах введення нової змінної є зворотний перехід від змінної t до змінної x .

Загальних методів підбору підстановок не існує. Але є широкі класи функцій, для яких будуть указані спеціальні типи підстановок.

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

1.5. Метод інтегрування частинами

Нехай u = u(x) і v = v(x) — функції, що мають на деякому проміжку не-

перервні похідні. Тоді

∫ udv = uv − ∫ vdu.

Цю формулу називають формулою інтегрування частинами. Вона дає змогу перейти від інтеграла∫udv до інтеграла∫ vdu.

Для відшукування інтеграла ∫ f (x)dx за частинами вираз f (x)dx нама-

гаються подати у вигляді udv так, щоб інтеграл ∫vdu набував простішого вигляду порівняно з даним інтегралом.

Деякі типи інтегралів, які зручно знаходити методом інтегрування частинами:

1)інтеграли вигляду

∫P(x)ekx dx , ∫ P(x) sin kxdx , ∫ P(x) cos kxdx ,

де P(x) — многочлен. У цих інтегралах за u слід узяти множник P(x),

аза dv — вираз, що залишився;

2)інтеграли вигляду

∫P(x) ln xdx , ∫ P(x) arcsin xdx , ∫ P(x) arccos xdx , ∫ P(x) arctg xdx ,

де P(x) — многочлен. У цих інтегралах слід взяти dv = P(x)dx, а за u —

вираз, що залишився; 3) інтеграли вигляду

∫ eαx sin βxdx , ∫ eαx cosβxdx ,

де α, β — дійсні числа. Після двократного застосування методу інтегру-

вання частинами утворюється лінійне рівняння відносно шуканого інтеграла. З цього рівняння знаходять інтеграл.

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 288 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.08.2019209.92 Кб1vidrodzhennya_u_frantsiyi.doc
#
28.08.2019288.77 Кб1Vidrodzhennya_v_nimechchini.doc
#
10.11.2019882.69 Кб33Vikova_psikhol_Konsp_Alp.doc
#
19.02.2016908.69 Кб55Vischa_geodeziya.docx
#
19.02.20168.29 Mб315Vischa_matematika_Chastina_1_Denisyuk_Repeta.pdf
#
19.02.20164.86 Mб918Vischa_matematika_Chastina_2_Denisyuk_Repeta.pdf
#
19.02.20162.32 Mб223Vischa_matematika_Chastina_2_Denisyuk_Repeta.pdf
#
19.02.20167.52 Mб410Vischa_matematika_Chastina_3_Denisyuk_Repeta.pdf
#
19.02.20161.68 Mб74Vitorskaya_N_Prichiny_Bolezn_Istoki_Zdorov_Pra.doc
#
26.08.201978.26 Кб0voprosy_1-10.docx
#
19.02.201650.69 Кб79Voprosy_na_ekzamen_TS.doc