Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный авиационный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Vischa_matematika_Chastina_2_Denisyuk_Repeta

.pdf

Скачиваний:

918

Добавлен:

19.02.2016

Размер:

4.86 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 287 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

3.4.4.u = xy + yz + zx ,

3.4.5.u = x + y + xyz ,

3.4.6.u = xy 2 z 2 ,

3.4.7.u = x 2 + 5y 2 ,

3.4.8.u = x2 yz 2 ,

3.4.9.u = y − ln(2 + x 2 ) ,

3.4.10.u = 18 + 3x − 4 y ,

3.4.11.u = xyz ,

3.4.12.u = 2x2 + y2 + z2 ,

3.4.13.u = x − 2 y + 2z ,

3.4.14.u = x + y ,

3.4.15.u = xy 2 z3 ,

3.4.16.u = x2 yz3 ,

3.4.17.u = 1x + 1y ,

3.4.18.u = 2x2 + y 2 ,

3.4.19.u = 2x + 1y ,

3.4.20.u = xy ,

3.4.21.u = x2 y 2 z ,

3.4.22.u = 2x + y + 3xyz ,

3.4.23.u = x + y + z ,

3.4.24.u = x3 − 8y3 + 8z 3 ,

3.4.25.u = 2x2 + 5y2 + z2 + 2x ,

3.4.26.u = 2x + 3y ,

3.4.27.u = x + y ,

3.4.28.u = x − 6 y + 2z ,

якщо x + y + z − 1 = 0 . якщо x + y + z − 1 = 0 .

якщо x + 2 y − 2z − 5 = 0 .

якщо 4x − 20y − 3 = 0 .

якщо 2x + y + 2z − 5 = 0 . якщо x2 + y 2 − 1 = 0 . якщо x2 + y2 − 25 = 0 . якщо x2 + y 2 − z − 1 = 0 .

якщо x2 + z2 − xy + 6x + 9 y = 0 .

якщо x2 + y 2 + z 2 − 1 = 0 .

якщо 9x2 + 16 y2 = 144 .

якщо x + 2 y + 3z − 6 = 0 . якщо 2x − y + 3z − 6 = 0 .


якщо	1		+		1			= 1 .
	x2				y2

якщо	2	+		1		+ 3 = 0 .

	x			y
якщо	4		+		1			=	1	.
	x2				y2
							4
якщо x2 + y2							= 8 .

якщо x + 2 y + 2z = 0 . якщо 2x + y + 3z − 1 = 0 . якщо x2 + y2 + z2 − 3 = 0 . якщо x − 2y + 2z = 0 . якщо x2 + y 2 + z 2 − 1 = 0 .

якщо	4	+	9	= 1 .
	x2		y2

якщо 9x2 + y2				= 9 .

якщо x + 9 y 2 − 4z 2 − 1 = 0 .

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

3.4.29. u = 3 − 4x − 2 y ,					якщо	2x2 + y 2 − 12 = 0 .
3.4.30.	u =	4 y 2	+ 3x2 + 8	,	якщо	x − y	2	− 1	= 0 .
		x2	+ y 2 + 2

3.5. Знайдіть найбільше та найменше значення функції z(x, y) у замкненій області D :

3.5.1.

z = 3x2 + y2 − 2xy − 4x,

= {(x, y)

−1 ≤ x ≤ 2, − 1 ≤ y ≤ x + 1} .

3.5.2.

z = x3

− 12xy + y3 ,

= {(x, y)

0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 2} .

3.5.3.

z = x2

− 2xy − y2 + 4x ,

= {(x, y)

y ≥ 0, x ≥ −3, x + y ≤ −1} .

3.5.4.z = xy(3 − x − y) , D = {(x, y) x ≥ 0, y ≥ −2, x + y ≤ 6} .

3.5.5.z = x3 + 3y 2 , D = {(x, y) x2 + y 2 ≤ 4} .


3.5.6.	z = x2	− y2 + 3xy − 5x − y,				= {(x, y)		x ≤ 3, y ≤ 2, 2x + y ≥ 0} .
					D
3.5.7.	z = x 2	+ 2xy − y 2 − 4x ,		={(x, y)			x ≤3, y ≥0, y ≤ x +1} .
			D

3.5.8.z = (x − y)2 + y 2 + 2x , D = {(x, y) x ≤ 0, y ≤ 0, x + y + 4 ≥ 0} .

3.5.9.z = 2x3 + 3y 2 , D = {(x, y) 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 9} .

3.5.10.

z = x2 − 3y2 + 2xy − 4x + 4 y,

= {(x, y)

x ≤ 2, y ≤ x + 1, y ≥ 0} .

3.5.11.

z = 2x2 − y2 − 3xy − x + 5y,

= {(x, y)

x ≥ 0,

y ≥ 0, x + 2 y ≤ 4}.

3.5.12.

z = x3 + y3 − 3xy 2 ,

= {(x, y)

x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 10} .

3.5.13.

z = x2 + 3xy + 2y 2 ,

= {(x, y)

y ≤ 2,

x ≥ 0,

y ≥ x − 2} .

3.5.14.

z = x2 + 2 y2 − 3x − 5y + xy,

= {(x, y)

x ≤ 2,

y ≤ 2, x + y ≥ 0}.

3.5.15.

z = x3 + 2y 2 − x ,

= {(x, y)

x2 + y 2 ≤ 16} .

3.5.16.

z = x2 − 2y2 + 4xy − 6x , D

= {(x, y)

y ≥ 0, x ≥ 0, x + y ≤ 3} .

3.5.17.

z = 3x2 + y3 + 4 ,

= {(x, y)

1 ≤ x2 + y 2 ≤ 9} .

3.5.18.

z = x4 − 2x2 y 2 + y3 ,

= {(x, y)

y ≥ x2 , y ≤ 4} .

3.5.19.

z = x3 + 3x2 y + y3 ,

= {(x, y)

− 3 ≤ x ≤ 3, − 5 ≤ y ≤ 5} .

3.5.20.

z = 2x 2 − 5xy + y 2 ,

= {(x, y)

y ≥ −3,

x ≥ 0,

x + y ≤ 1} .

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

3.5.21. z = 2x2 + y2 + 2xy − 6x − 4 y, D = {(x, y) x ≥ −1, y ≥ 0, x + y ≤ 3} .

3.5.22.z = 6xy − 9x 2 − 9 y 2 + 4x + 4 y , D = {(x, y) 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2} .

3.5.23.z = 4x − 2y + x − y + 1, D = {(x, y) 12 ≤ x ≤ 3, 13 ≤ y ≤ 2} .

3.5.24.

z = 4x − 4 y − x2 − y 2 ,

= {(x, y)

x + y ≤ 2, y ≥ 0,

x ≥ 0} .

3.5.25.

z = x2

+ xy − 2 ,

= {(x, y)

y ≥ 4x 2 − 4, y ≤ 0} .

3.5.26.

z = 3x2 + 3y 2 − 2x − 2 y ,

= {(x, y)

x + y ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0} .

3.5.27.

z = x2

y ≥ x2 − 2} .

+ 2xy − 10 ,

= {(x, y)

y ≤ 2,

3.5.28.

z = x 2

+ 4xy − 2 y 2 − 6x ,

= {(x, y)

x ≤ 0, y ≥ 0,

y ≤ x + 3} .

3.5.29.z = 5x 2 − 3xy + y 2 , D = {(x, y) 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2} .

3.5.30.z = x2 + 2xy − 1, D = {(x, y) y ≤ 0, y ≥ x2 − 4} .

Тема 4. КОМПЛЕКСНІ ЧИСЛА

Поняття комплексного числа. Дії над комплексними числами в алебраїчній формі. Геометричне зображення комплексних чисел. Модуль і аргумент комплексного числа. Тригонометрична і показникова форми комплексного числа. Дії над комплексними числами у тригонометричній формі.

Література: [2, розділ 1, стор. 18—25], [3, розділ 7, §1], [4, §3], [5, розділ 3, §6], [6, розділ 7, розділ 7, §1—§8], [8, 1 част.,

розділ 6].

Т.4 ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

4.1. Поняття комплексного числа

Вираз

z = a +bi,

де а і b — дійсні числа, i = −1 — уявна одиниця ( i2 = −1), називають комплексним числом. Таку форму запису комплексного числа називають

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

алгебраїчною, число а — дійсною частиною комплексного числа z, а b — уявною частиною z і позначають

a = Re z, b = Im z.

Позначення дійсної й уявної частин комплексного числа z походить від

французьких слів: reel	— дійсний, imaginaire — уявний.
Два комплексні числа z = a +bi		і z = a −bi називають спряженими.
Комплексні числа	z1 = a1 +b1i	та z 2 = a2 +b2i рівні між собою

( z1 = z2 ) тоді і тільки тоді, коли рівні їхні дійсні та уявні частини, тобто

a1 = a2 і b1 = b2 .

Комплексне число z = a +bi дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли

a = b = 0 .

Поняття «більше—менше» для комплексних чисел не існує.

4.2. Дії над комплексними числами в алгебраїчній формі

Дії над комплексними числами z1 = a1 +b1i та z 2 = a2 +b2i викону-

ють за такими правилами: 1) додавання:

z1 + z2 = a1 + a2 +(b1 +b2 )i ;

2)	віднімання:			z1 −z2 = a1 −a2 + (b1 −b2 )i ;
3)	множення:			z1 −z2 = a1 −a2 + (b1 −b2 )i ;
3)	множення:		z1 z2 = a1a2 −b1b2 +(a1b2 + a2b1 )i ;
			z1 z2 = a1a2 −b1b2 +(a1b2 + a2b1 )i ;
4)	ділення ( z2 ≠ 0 ):
		z1	=	z1 z2	=	a1a2 +b1b2		+	a2b1 −a1b2		i .
		z2		z2 z2		a2	+b2		a2	+b2
					2		2	2		2

4.3. Геометричне зображення комплексних чисел. Модуль і аргумент комплексного числа

Між множиною С усіх комплексних чисел і всіма точками площини існує взаємно однозначна відповідність, іншими словами, кожному комплексному числу z = a +bi ставиться у відповідність точка площини (a, b) , і

навпаки, кожній точці з координатими (a, b) ставиться у відповідність комплексне число z = a +bi . На рисунку 1.14 комплексне число z = a +bi зображається точкою M (a, b) . Таку площину умовно називають комплекс-

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

ною площиною змінної z, вісь Ox — дійсною, а вісь Oy — уявною віссю. Комплексне число z = a +bi можна також зображувати вектором, початок якого міститься у точці О (0; 0), а кінець — у точці M (a, b) .

Якщо b = 0 , тоді комплексне число z = a + +0 i = a стає дійсним числом. Отже, дійсні числа є окремим випадком комплексних чисел, їх позначають точками осі Ox .

Якщо a = 0 , то комплексні числа z = 0 + +bi = bi називають суто уявними; такі числа

зображають точками осі Oy .

JJJG

Довжину ρ вектора OM називають моду-

а x

Рис. 1.14

лем комплексного числа і позначають \| z \| . З рис. 1.14 зрозуміло, що

Кут ϕ		z	= a2 +b2 .	JJJG	(1.15)
		z	= a2 +b2 .		(1.15)


	між додатним напрямом осі Ox і вектором OM , який відпові-

дає комплексному числу z = a +bi , називають аргументом комплексного

числа z (z ≠ 0) і позначають ϕ = arg z.

Кожне ненульове комплексне число має безліч аргументів. Усі вони задаються формулою

Arg z= arg z + 2πn , n ],

де Arg z — загальне значення аргументу;

arg z — головне значення аргументу, яке задовольняє умову

−π< arg z ≤π.

Головне значення аргументу комплексного числа z = a +bi значити за таким правилом:

		b
		b
arctg			,	якщо a > 0,
arctg			,	якщо a > 0,

		a
		a

		b
		b	+π, якщо a < 0, b ≥0,
arctg
arctg
		a
		a

		b
		b
arg z = arctg			−π, якщо a < 0, b < 0,
arg z = arctg			−π, якщо a < 0, b < 0,
		a
		a

		π
		π	,	якщо a = 0, b > 0,
			,	якщо a = 0, b > 0,
		2
		2

		π
		π
	−		,	якщо a = 0, b < 0.
	−	2	,	якщо a = 0, b < 0.
		2

можна ви-

(1.16)

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

Відшукання аргументу комплексного числа рекомендуємо розпочинати

згеометричного зображення цього числа.

4.4.Тригонометрична форма комплексного числа

Зрисунка 1.14 видно, що a = ρcos ϕ , b = ρsin ϕ. Тоді комплексне число z = a +bi можна подати у вигляді

z = ρ(cos ϕ+i sin ϕ).

(1.17)

Праву частину формули (1.17) називають тригонометричною формою комплексного числа z.

4.5.Дії над комплексними числами

утригонометричній формі

Нехай z1 = ρ1 (cos ϕ1 +i sin ϕ1 ) , z2 = ρ2 (cos ϕ2 +i sin ϕ2 ) .

Знайдемо добуток

z1 z2 = ρ1ρ2 (cos ϕ1 +i sin ϕ1 ) (cos ϕ2 +i sin ϕ2 ) =

=ρ1ρ2 (cos ϕ1 cos ϕ2 −sin ϕ1 sin ϕ2 +i(sin ϕ1 cos ϕ2 +sin ϕ2 cos ϕ1 ) =

=ρ1ρ2 [cos(ϕ1 +ϕ2 ) +i(sin(ϕ1 +ϕ2 )] .

Висновок. Під час множення комплексних чисел їхні модулі перемножують, а аргументи додають.

Піднесення комплексного числа, заданого у тригонометричній формі, до n-го степеня, де n N, виконують за формулою Муавра:

zn = ρn (cos nϕ+i sin nϕ).

(1.18)

Ділення комплексних чисел, заданих у тригонометричній формі:

z1 = ρρ1 (cos(ϕ1 −ϕ2 ) +i sin(ϕ1 −ϕ2 )).

z2 2

Корінь степеня n, де n — ціле додатне число, з комплексного числа z = ρ(cos ϕ+i sin ϕ) добувають за формулою:

	ϕ+ 2πk	+i sin	ϕ+ 2πk	,	(1.19)
n z = n ρ cos		+i sin		,	(1.19)
	n		n
	n		n

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

де k = 0, 1, 2, ..., n −1. Отже, існує n різних значень кореня n-го степеня з числа z. Усім цим значенням відповідають точки площини, які лежать на колі радіуса n ρ з центром у початку координат і є вершинами правильного n-кутника.

4.6. Показникова форма комплексного числа

За формулою Ейлера

eiϕ = cos ϕ+i sin ϕ .

Звідси випливає, що комплексне число, записане у тригонометричній формі, можна подати ще й так:

z = ρ(cos ϕ+i sin ϕ) =| z | eiϕ.

Вираз | z | eiϕ називають показниковою формою комплексного числа z. Нехай z1 =| z1 | eiϕ1 , z2 =| z2 | eiϕ2 . Тоді:

1)z1 z2 =| z1 | | z2 | ei(ϕ1+ϕ2 ) ;

2)z1 = | z1 | ei(ϕ1−ϕ2 ) ; z2 | z2 |

3) zn =| z |n einϕ .

Т.4 ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ТИПОВИХ ЗАДАЧ

1. Нехай z1 = 3+i ,

z2 = 4−3i . Виконайте дії:

а) z + z

;

б) 3z −2z

; в) z z

; г)

; д) (z )3 .

Розв’язання. а)

z1 + z2 = (3+i) +(4−3i) = 7 −2i ;

б) 3z1 −2z2 = 3(3+i) −2(4−3i) = 9 +3i −8 +6i =1+9i ;

в) z z

= (3+i)(4−3i) =12 + 4i −9i −3i2 =12−5i +3 =15−5i ;

3+i

(3+i)(4 +3i)

12 + 4i +9i +3i2

г)

−

(4−3i)(4 +3i)

16−

9i2

9 +13i

;

д) (z )3 = (3+i)3

= 27 + 27i +9i2

+i3 = 27 + 27i −9−i =18 + 26i .

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

2. Обчисліть i18 +i25 +i36 +i−1 .

Розв’язання. Враховуючи рівності i2 = −1, i3 = −i, i4 =1, маємо

i18 +i25 +i36 +i−1 = i16+2 +i24+1 +i36 −i =

=(i4 )4 i2 + (i4 )6 i + (i4 )9 −i = i2 +i +1−i = 0 .

3.Знайдіть дійсну та уявну частини комплексного числа

z =

(3−2i)2

(i −1)3 .

2i +1

Розв’язання. Виконаємо перетворення

z =

9−12i + 4i

−3i

+3i −1

5−12i

−i +3+3i −1 =

2i +1

(5−12i)(2i −1)

+ 2i + 2

10i + 24−5 +12i

+ 2i + 2 =

12i +9

(2i +1)(2i −1)

−5

Отже, Re z = −

, Im z = −

4. Знайдіть модуль й головне значення аргументу комплексних чисел, запишіть ці числа у тригонометричній формі:

a) z1 = 3 ; б) z2 = 2i ; в) z3 = −1;

г) z4 =1+i ; д) z5 =1−i 3 ; е) z6 = −2−i .

Розв’язання. Вказаним числам відповідають на площині точки M1 −M6

(рис. 1.15).

За формулами (1.15) — (1.17) дістаємо:

а) | z1 |= 3,

ϕ1 = 0,

z1 = 3(cos 0 + i sin 0) ;

б) | z2 |= 2, ϕ2 =

= 2(cos

+ i sin

) ;

в) | z3 |= 1,

ϕ3 = π,

z3 = cos π + i sin π ;

г) | z4 |=

2, ϕ4 =

z4 = 2(cos

+ i sin

) ;

д) | z

1+ 3 = 2, ϕ

= arctg(−

3) = −

= 2(cos(−

) + i sin(−

)) ;

е) | z

4 + 1 =

= arctg

− π,

= 5(cos

+ i sin ϕ

) .

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

5. Знайдіть (− 3 +i)13 .

Розв’язання. Запишемо дане число у тригонометричній формі (рис. 1.16):

ρ = (− 3)2 +12

= 2 , cos ϕ = −

, sin ϕ =

, ϕ =

5π

z = −

3 + i = 2(cos

5π

+ i sin

5π

) .

За формулою Муавра дістанемо

5π

(−

3 + i)13 = 213 (cos13

+ i sin13

) =

= 213

5π

(cos(10π +

) + i sin(10π +

) =

213 (−

+ i

) = 4096(− 3

+ i) .

М2

М4

	М3		М1			φ
–2	О	1	3	х
						x
М6		–1		− 3	О
		М5

Рис. 1.15

Рис. 1.16

6. Розв’яжіть рівняння z4 +16 = 0 .

Розв’язання. Запишемо рівняння у вигляді z4 = −16 . Тепер подамо число –16 у тригонометричній формі: −16 = 16(cos π + i sin π).

Використовуючи формулу (1.19), дістаємо

4 −16	= 2	cos	π + 2πk	+ i sin	π + 2πk	, k = 0, 1, 2, 3 .
			4		4

Послідовно визначаємо усі чотири корені даного рівняння:

= 2

cos

+ i sin

= 2

+ i

2 + i

π + 2π

= 2

cos

+ i sin

= 2

−

+ i

= −

2 + i 2,

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

π + 4π

z3 = 2

cos

+ i sin

= 2

−

− i

= − 2

− i 2 ,

π + 6π

z4 = 2

cos

+ i sin

= 2

− i

2 − i

2 .

З погляду геометрії одержані корені — вершини квадрата, вписаного у коло радіуса 2 (рис. 1.17).

	y
z2	z1

О2 x

z3z4

7. Розв’яжіть рівняння x2 −4x +5 = 0 . Розв’язання. Маємо квадратне рівняння з від’єм-

ним дискримінантом: D =16−4 5 = −4 . Значить рівняннямаєпарукомплексно-спряжених коренів:

x =	4 + −4	=	4 + 2i	= 2 +i,

1	2	2

	x	=	4− −4	= 2−i .

Рис. 1.17	2		2

8. Розв’яжіть рівняння | z | −2z = −1−8i.

Розв’язання. Невідоме число z запишемо в алгебраїчній формі: z = x +iy . Тоді

x2 + y2 −2x −2 yi = −1−8i .

З умови рівності комплексних чисел одержуємо систему двох рівнянь із двома невідомими:

+ y

−2x = −1,

−2 y = −8,

розв’язок якої x = 3 , y = 4 . Отже, шукане число z = 3+ 4i .

9. Нехай z =

, z

3 . Виконайте дії:

а) z z

; б) (z )6 .

Розв’язання:

а) z z

= 2e 6 3e 3

6e 2 = 6(cos

+i sin

) = 6i ;

3 =

б) (z )6 = (2ei

6 )6 = 64eiπ = −64 .

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 287 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.08.2019209.92 Кб1vidrodzhennya_u_frantsiyi.doc
#
28.08.2019288.77 Кб1Vidrodzhennya_v_nimechchini.doc
#
10.11.2019882.69 Кб33Vikova_psikhol_Konsp_Alp.doc
#
19.02.2016908.69 Кб55Vischa_geodeziya.docx
#
19.02.20168.29 Mб315Vischa_matematika_Chastina_1_Denisyuk_Repeta.pdf
#
19.02.20164.86 Mб918Vischa_matematika_Chastina_2_Denisyuk_Repeta.pdf
#
19.02.20162.32 Mб223Vischa_matematika_Chastina_2_Denisyuk_Repeta.pdf
#
19.02.20167.52 Mб410Vischa_matematika_Chastina_3_Denisyuk_Repeta.pdf
#
19.02.20161.68 Mб74Vitorskaya_N_Prichiny_Bolezn_Istoki_Zdorov_Pra.doc
#
26.08.201978.26 Кб0voprosy_1-10.docx
#
19.02.201650.69 Кб79Voprosy_na_ekzamen_TS.doc