Vischa_matematika_Chastina_2_Denisyuk_Repeta
.pdf
|
|
|
13. ∫ |
|
|
|
|
3 |
x |
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
14. ∫ |
|
x7 |
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
15. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1+ 3 x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+ x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(1+ x |
3 |
) |
1/ 4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
16. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
17. ∫ |
x (1+ 2 6 x )3 dx . |
|
|
|
|
18. ∫ |
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + x 2 − x + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 1+ x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
19. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
x 2 dx |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
20. ∫ |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
21. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6x − 8 − x2 )3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 + 2x + 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2x − 3) 4x − x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
22. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
x 2 dx |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
23. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
24. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 − 2x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x −1) 6x − x 2 − 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x2 + x + 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
25. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
x 4 dx |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
26. ∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
27. ∫ (2x 2 − 3x)dx . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 + 4x + 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 + x − x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 − 2x + 5 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
28. ∫ |
|
|
|
2x + x |
2 |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
29. ∫ |
1+ x 2 |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
30. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 + x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − |
|
|
|
x 2 − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Відповіді |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + 6 x + 11 |
|
+ C . |
|
|
|
|
2. |
arc sin |
|
|
x − 1 |
+ C . |
|
|
|
|
3. |
|
3 |
|
|
|
|
2 x2 − 12x + 15 + |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ln |
x + 3 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
+2 2 ln | x − 3 + |
x2 − 6x + 15 / 2 | +C . |
|
4. − 6 |
|
|
x − x2 + 4 arcsin(2x + 1) + C . |
5. −2 5 + 4t − t2 + |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
+3 arcsin( |
t − 2 |
|
) |
+ C , |
де |
t |
|
= sin t . |
|
6. |
2 |
|
x − |
4 |
4 |
x |
|
+ 4 ln 1 + |
4 |
x + C . |
|
7. |
|
3 |
|
3 |
x + 1 |
4 |
− |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
x |
|
|
− 1 |
|
|
|
|
||||||||||||||
− |
3 |
3 |
|
x + 1 7 |
+ C . |
8. |
6 6 |
x |
5 |
− 2 |
|
x + |
6 |
6 |
x |
− 6 arctg |
6 |
x + C . |
9. −2t − ln |
|
|
t − 1 |
|
|
+ C, де |
|
|
t = |
x − 3 |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
28 x − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
+ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
||||||||||||||||
10. ln | x | + |
|
|
10 |
|
− |
5 |
|
+ |
|
10 |
|
|
|
|
− |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
− 10 ln |
|
1 + 10 x |
|
|
+ C. 11. |
( |
|
|
x − 2) |
1− x − arcsin |
|
|
|
x + C . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10 x |
|
5 x |
3 10 |
x3 |
|
|
|
2 5 x2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
12 3 |
|
|
|
|
|
7 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 / 3 1/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
t7 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
5 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
12. |
( |
4 |
|
x + 1) |
− 3 |
3 |
( |
4 |
x |
+ |
1) |
+ C . |
13. |
u |
− 3u + C , де |
|
|
|
u = (1 |
+ x |
. |
14. |
|
|
|
|
− |
t |
+ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
5 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
+ t3 − t + C, |
|
де |
t = |
|
1 + x2 . |
|
15. |
2 |
arctg 4 |
1 + x3 |
|
+ |
|
|
1 |
|
|
|
4 1 + x3 |
|
− 1 |
|
|
+ C. |
|
|
16. |
|
|
|
|
|
8 − x + |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
8ln |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
3 |
4 1 + x3 |
+ 1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x2 − x + |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17. |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
+ |
|
|
|
|
1 − 2x + |
|
− x + 4 |
|
+ C. |
|
− |
ln |
|
t − 1 |
|
+ 8ln |
|
2t + 1 |
|
− |
ln |
|
t + 1 |
|
+ |
|
|
|
|
|
+ C, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
− |
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
t + 1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
де |
t = |
|
|
− x + |
4 + 2 |
. |
|
18. |
|
1 |
|
ln |
|
+ u + 1 |
|
− |
|
1 |
|
|
|
|
arctg |
|
|
|
2u + 1 |
+ C , |
|
|
де |
|
|
|
u = |
|
|
1 + x3 |
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
(u |
|
|
− 1)2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
19. |
|
x − 3 |
|
|
x2 + 2x + 5 − ln x + 1 + |
|
|
x2 + 2 x + 5 + C . |
|
20. − |
|
1 |
ln |
|
|
x + 6 + |
|
|
|
|
60 x − 15x2 |
|
+ C . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x − 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
151 |
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
21. |
|
x − 2 |
|
− |
6x − 8 − x2 |
+ C . 22. |
|
|
|
|
|
x + 3 |
x2 − 2x + |
2 + |
1 |
|
x − 1 + |
|
x2 − 2x + 2 |
|
+ C. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 6x − 8 − x |
2 |
|
|
|
2(x − 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
23. Вказівка. Зробітьзаміну |
|
1 |
|
|
|
|
24. −ln |
|
1 1 |
|
|
|
|
x2 + x +1 |
|
+ C . |
25. |
1 |
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= t. |
|
|
|
|
|
+ |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(12x −56x + 95x−10)× |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
x−1 |
|
|
x |
2 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
48 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
× |
x2 + 4 x + 5 − |
455 ln |
|
x + 2 + |
x2 + 4 x + 5 |
|
+ C. |
|
26. Вказівка. Зробіть |
заміну |
1 |
= t . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
48 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||||
27. |
x x2 − 2x + 5 − 5ln |
|
x − 1 + |
x2 − 2x + 5 |
|
+ C. 28. −2 |
x + 2 |
|
− |
ln |
x + 2 − |
x |
+ C. Вказівка. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(1 + x2 ) |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x + 2 + |
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Виконайте заміну |
x = |
1 |
. 29. |
|
|
2 |
ln |
|
x − |
|
− |
1 |
ln |
|
x − |
1 |
+ x2 |
|
+ C. |
Вказівка. Вико- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
t |
|
|
4 |
|
x + |
2(1 + x2 ) |
|
2 |
|
x + |
1+ x2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
найте заміну x = tg t. 30. Вказівка. |
Домножте |
чисельник |
і знаменник дробу на спря- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
жений вираз x + |
x2 − 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т.5 ІНДИВІДУАЛЬНІ ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ
5.1. Знайдіть інтеграли від квадратичних ірраціональностей.
5.1.1. ∫ |
|
dx |
. |
|
5.1.2. ∫ |
dx |
. |
|
|
5.1.3. ∫ |
dx |
|
|
. |
|
|
|
x2 − 4x + 1 |
|
|
2 − 3x − 2x2 |
|
|||||||
|
4 |
+ 8x − x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5.1.4. ∫ |
|
dx |
. |
|
5.1.5. ∫ |
dx |
|
. |
|
5.1.6. ∫ |
dx |
|
. |
|
|
|
|
2 + 8x − 2x2 |
|
3 + 2x − x2 |
|
|
|||||||
|
x |
2 + 6x + 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5.1.7. ∫ |
|
dx |
. |
|
5.1.8. ∫ |
dx |
. |
|
|
5.1.9. ∫ |
dx |
|
|
. |
|
|
|
1 + 6x − x2 |
|
|
x2 − 10x + 4 |
||||||||
|
2 |
− 2x − x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5.1.10. ∫ |
|
dx |
. |
5.1.11. ∫ |
dx |
|
|
. |
5.1.12. ∫ |
dx |
|
|
. |
|
|
2x + 3 − x2 |
4x2 − 8x + 3 |
1 + 2x − x2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5.1.13. ∫ |
|
dx |
. |
5.1.14. ∫ |
dx |
|
. |
|
5.1.15. ∫ |
dx |
|
|
. |
|
|
4x2 − x + 4 |
2 + 4x − x2 |
|
x2 + 2x + 4 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5.1.16. ∫ |
|
dx |
. |
5.1.17. ∫ |
dx |
|
. |
|
5.1.18. ∫ |
dx |
|
|
. |
|
3x + 2 − x2 |
2x2 − 8x + 10 |
|
x2 − 5x + 6 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5.1.19. ∫ |
|
dx |
. |
5.1.20. ∫ |
dx |
. |
|
|
5.1.21. ∫ |
dx |
. |
|
|
|
16x2 |
− 8x + 3 |
x2 − x + 1 |
|
|
2 − x − 2x2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
152
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
5.1.22. ∫ |
|
|
dx |
|
|
. 5.1.23. |
∫ |
dx |
|
. |
5.1.24. ∫ |
|
dx |
. |
||
4x |
2 + 4x + 3 |
5 − 6x − 9x2 |
3x − 2x2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
5.1.25. ∫ |
|
|
dx |
. |
5.1.26. |
∫ |
dx |
. |
|
5.1.27. ∫ |
|
dx |
. |
|||
1 |
− x − x2 |
1 − 2x − x2 |
|
4 − 3x − x2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5.1.28. ∫ |
|
|
dx |
|
. |
5.1.29. |
∫ |
dx |
. |
|
5.1.30. ∫ |
|
dx |
|
. |
|
3x2 |
+ 6x + 9 |
|
3 − x − x2 |
|
x2 |
+ 4x + 8 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.2. Знайдіть інтеграли від квадратичних ірраціональностей.
5.2.1. ∫ |
|
(3x − 1)dx |
. |
|||||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
x2 + 4x + 5 |
|||||||
5.2.4. ∫ |
|
(7x − 3)dx |
. |
|
|
|||||
|
|
|||||||||
|
|
|
6 + 2x − x2 |
|||||||
5.2.7. ∫ |
|
(x + 3)dx |
. |
|||||||
|
|
|||||||||
|
|
|
x2 + 8x + 18 |
|||||||
5.2.10. ∫ |
(5x + 4)dx |
|||||||||
x2 + 8x + 17 |
||||||||||
|
|
|
||||||||
5.2.13. ∫ |
(3x + 2)dx |
. |
||||||||
|
||||||||||
|
|
|
5 − 4x − x2 |
|||||||
5.2.16. ∫ |
(4 − x)dx |
. |
||||||||
|
|
|||||||||
|
|
|
x2 + 2x + 4 |
|||||||
5.2.19. ∫ |
(4x + 3)dx |
. |
||||||||
|
||||||||||
|
|
|
3 + 2x − x2 |
|||||||
5.2.22. ∫ |
(2 − x)dx |
|||||||||
14 − 4x − x2 |
||||||||||
|
|
|
||||||||
5.2.25. ∫ |
(5 − x)dx |
. |
||||||||
|
||||||||||
|
|
|
x2 + 4x + 6 |
|||||||
5.2.28. ∫ |
(x + 3)dx |
|||||||||
21− 8x − x2 |
||||||||||
|
|
|
|
5.2.2. ∫ |
|
(4x + 3)dx |
. |
|
|
|
|
|
|
5.2.3. ∫ |
|
|
|
(5x + 2)dx |
. |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
7 − 2x − x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + 6x + 10 |
||||||||||||||||
|
5.2.5. ∫ |
|
|
(3 − x)dx |
. |
|
|
|
|
|
|
5.2.6. ∫ |
|
(2 − 3x)dx |
. |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
x2 + 2x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 − 4x + 6 |
||||||||||||||||
|
5.2.8. ∫ |
|
|
(2x − 1)dx |
. |
|
|
|
|
|
|
5.2.9. ∫ |
|
(4x + 3)dx |
. |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
x2 + 2x + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 − 4x − x2 |
||||||||||||||||
. |
5.2.11. ∫ |
|
(x + 2)dx |
. |
|
|
|
|
5.2.12. ∫ |
|
|
|
(3x − 5)dx |
. |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 − 2x − x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + 4x + 8 |
|||||||||||||||
|
5.2.14. ∫ |
|
(6x + 1)dx |
. |
5.2.15. ∫ |
|
|
|
(3x + 1)dx |
. |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x2 + 2x + 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 − 4x − x2 |
|||||||||||||||
|
5.2.17. ∫ |
|
(7x + 4)dx |
. |
5.2.18. ∫ |
|
|
|
(9x + 1)dx |
. |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
11− 4x − x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 − 2x − x2 |
|||||||||||||||
|
5.2.20. ∫ |
|
(3x − 7)dx |
. |
5.2.21. ∫ |
|
|
|
(3x − 1)dx |
. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
12 + 4x − x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + 6x + 11 |
|||||||||||||||
. |
5.2.23. ∫ |
|
(x − 4)dx |
. |
5.2.24. ∫ |
|
(3 − 4x)dx |
. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x2 + 8x + 20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + 4x + 7 |
|||||||||||||||
|
5.2.26. ∫ |
|
dx |
. |
5.2.27. ∫ |
|
|
|
(− x + 5)dx |
. |
|||||||||||||||||||
|
|
1 − 2x − x2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + 2x + 9 |
||||||||||||||||
. |
5.2.29. ∫ |
|
(3x + 2)dx |
. |
5.2.30. ∫ |
|
|
|
(x − 4)dx |
. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x2 + 4x + 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 − 6x − x2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
153 |
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
5.3. Знайдітьінтеграли, використовуючитригонометричну замінузмінної.
5.3.1. ∫ |
1− x2 |
dx . |
|
x |
|||
|
|
5.3.4.∫ 1− x2 dx .
x4
5.3.7. ∫ |
x2 |
+ 4 |
dx . |
x |
2 |
||
|
|
|
5.3.10.∫ x2 + 4 dx .
x4
5.3.13. ∫ |
x2 − 9 |
dx . |
||
|
|
x |
|
|
5.3.16. ∫ |
|
dx |
|
. |
x2 |
|
|
||
|
(x2 − 1)3 |
|||
5.3.19. ∫ |
|
dx |
. |
|
x3 |
|
|
||
|
x2 − 1 |
|||
5.3.22. ∫ x2 |
1 − x2 dx . |
|||
5.3.25. ∫ |
|
dx |
. |
|
|
|
|
||
|
(x 2 + 9)3 |
|||
5.3.28. ∫ |
x2 dx . |
|||
|
9 − x2 |
|
|
5.3.2. ∫ |
|
|
x2 − 1 |
dx . |
|
5.3.3. ∫ |
|
|
|
4 + x2 |
dx . |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5.3.5. ∫ |
4 − x2 dx . |
|
|
|
5.3.6. ∫ |
|
|
|
|
x2 + 9 |
dx . |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.3.8. ∫ |
|
|
4 − x2 |
|
|
|
|
5.3.9. ∫ |
|
|
|
9 − x2 |
|
dx . |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
4 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5.3.11. ∫ |
(4 − x2 )3 |
dx . |
5.3.12. ∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
(x |
2 + 1)5 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
5.3.14. ∫ x |
3 |
|
|
9 − x |
2 |
dx . |
5.3.15. ∫ |
|
x2 −1 |
dx . |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5.3.17. ∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
. |
5.3.18. ∫ |
|
|
x2 |
|
− 9 |
dx . |
||||||||||||||||||
x2 |
|
|
|
x2 − 1 |
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
5.3.20. ∫ |
|
x2 |
|
− 9 |
dx . |
5.3.21. ∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||
|
|
x |
4 |
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + 9 |
|||||||||||||
5.3.23. ∫ |
|
|
x2 − 4 |
|
|
|
|
5.3.24. ∫ |
|
|
16 − x2 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
||||||||||||||
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
4 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5.3.26. ∫ |
|
x2 |
|
+ 9 |
dx . |
5.3.27. ∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||
|
|
x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x |
2 + 4)3 |
|
|
|
||||||||||
5.3.29. ∫ |
16 − x 2 |
dx . |
5.3.30. ∫ |
|
16 − x |
2 |
dx . |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
4 |
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.4. Знайдіть інтеграли від ірраціональних функцій, використовуючи відповідну заміну змінної.
5.4.1. ∫ |
|
|
1 |
− x + 1 |
dx . |
5.4.2. ∫ |
|
|
x |
+ 1 |
− 1 |
dx . |
(1 |
+ |
3 |
x + 1) x + 1 |
( |
3 |
x + 1 |
+ 1) x + 1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
154
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
5.4.3.∫ 3 (x + 1)2 + 6 x + 1 dx .
x+ 1 + 3 x + 1
5.4.5. ∫ x + 3 x2 + 6 x dx . x(3 x + 1)
x− 1
5.4.7.∫ 3 x − 1 + 6 x − 1 dx .
5.4.9. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
6 x − 1 |
|
|
|
|
dx . |
||||||||
3 |
|
x |
− 1 + |
|
x − 1 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
5.4.11. ∫ |
|
|
|
|
|
|
6 x + 3 |
|
|
|
|
dx . |
|||||||||
|
3 |
|
x |
+ 3 + |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 3 |
|||||||||||||
5.4.13. ∫ |
|
|
|
|
|
|
3x + 1 −1 |
|
|
|
dx . |
||||||||||
|
|
|
3x |
+ 1 + |
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3x + 1 |
||||||||||||||
5.4.15. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
3 (2x + 1)2 − 2x + 1 |
||||||||||||||||||
5.4.17. ∫ |
|
|
|
|
|
|
x + 3 |
|
|
dx . |
|||||||||||
3 |
x + 3 + |
6 |
x + |
3 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
5.4.19. ∫ |
|
|
|
|
|
|
x − 1 |
|
|
|
dx . |
||||||||||
|
|
|
x( |
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x + 1) |
|
|
|
|
|
|||||||||
5.4.21. ∫ |
|
|
|
|
|
|
x |
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1+ |
|
4 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
5.4.23. ∫ |
|
4 x + x |
dx . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5.4.25. ∫ |
|
|
|
|
|
x + 3 |
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|||||||
1+ |
3 |
x + |
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
5.4.27. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|||||
|
4x − |
3 x2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5.4.29. ∫ |
|
|
|
|
|
|
x |
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1− |
4 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.4.4. ∫ |
(3 x + 1)( |
|
|
x + 1) |
|
dx . |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 x5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5.4.6. ∫ |
|
|
2x + 1 + 3 2x + 1 |
dx . |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
5.4.8. ∫ |
|
|
|
|
x − 1 − 23 x −1 |
dx . |
|||||||||||||||||||||||
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x −1 + |
|
x −1 |
|||||||||||||||||||||||
5.4.10. ∫ |
|
x + |
|
|
x + 3 x2 |
dx . |
|||||||||||||||||||||||
|
|
x( |
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
x + |
3 |
|
|
|
2 |
+ |
6 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
5.4.12. ∫ |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
|||||||||||||||||
|
|
|
x( |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
5.4.14. ∫ |
|
|
|
|
|
3x + 1 + 2 |
|
|
|
|
|
dx. |
|||||||||||||||||
3 |
3x + |
1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x + 1 |
|||||||||||||||||||
5.4.16. ∫ |
|
|
|
x − 3 x |
|
|
|
dx . |
|||||||||||||||||||||
3 |
x |
− |
6 |
|
|
x − |
1 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
5.4.18. ∫ |
|
|
|
6 3x + 1 + 1 |
|
|
|
|
|
dx . |
|||||||||||||||||||
|
|
3x + |
1 − |
3 |
3x |
+ 1 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
5.4.20. ∫ |
|
3 x + |
|
|
|
x |
dx . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
x + |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
5.4.22. ∫ |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
3x + 3 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
5.4.24. ∫ |
|
x − 3 x2 |
dx . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x( |
x + 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
5.4.26. ∫ |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x − 43 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
5.4.28. ∫ |
|
|
|
x |
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1− |
3 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x
5.4.30. ∫ x − 3 x2 dx .
155
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
Тема 6. ВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ
Означення, умови існування, геометричний зміст, властивості. Обчислення визначених інтегралів. Формула Ньютона—Лейб- ніца. Методи інтегрування визначених інтегралів.
Література: [1, розділ 7], [3, розділ 7, § 2], [4, розділ 7, §23], [5, розділ 6], [6, розділ 9, п. 9.1, 9.2], [7, розділ 11, § 1—6] [9, § 35—39].
Т.6 ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ
6.1. Означення та умови існування
Нехай функція f (x) визначена на відрізку [a, b] . Розіб’ємо цей відрізок на n довільних частин точками a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b і виберемо на кожному з відрізків [xi−1 , xi ] довільну точку ξi (рис. 2.1). Складемо су-
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
му ∑ f (ξi ) |
xi , де |
xi = xi − xi−1 . Цю суму називають інтегральною су- |
||||||||
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мою функції |
f (x) |
на відрізку [a, b] . Позначимо через λ довжину найбі- |
||||||||
льшого частинного відрізка xi . |
|
|
|
|
|
|||||
|
y |
|
|
|
y = f(x) |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
f(ξ2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(ξ1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(ξn) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
x0 = a ξ1 х1 ξ2 х2 |
xn–1 ξn хn = b |
|
|||||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
Рис. 2.1 |
|
|
|
|
|
|
Визначеним інтегралом функції f (x) |
на відрізку [a, b] |
називають скі- |
||||||||
нченну границю інтегральної суми при λ → 0 за умови, |
що вона не за- |
лежить від способу розбиття відрізка [a, b] і вибору точок ξi , і позначають так:
156
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
b |
|
n |
∫ f (x)dx = |
lim |
∑ f (ξi ) xi . |
a |
max xi →0 i=1 |
Геометричний зміст визначеного інтеграла. Визначений інтеграл
b
∫ f (x)dx , де f (x) — невід’ємна і неперервна функція, чисельно дорів-
a
нює площі криволінійної трапеції, обмеженої вертикальними прямими x = a і x = b ( a < b ), віссю Ox і графіком функції y = f (x) .
Функцію f (x) називають інтегровною на відрізку [a, b] , якщо існує
b
визначений інтеграл ∫ f (x)dx .
a
Визначений інтеграл існує:
1) для кожної функції f (x) , обмеженої на відрізку [a, b] і такої, що має не більше ніж скінченне число точок розриву;
2)для обмеженої і монотонної на відрізку [a, b] функції;
3)для неперервної на відрізку [a, b] функції.
|
6.2. Властивості визначеного інтеграла |
|||
1. Якщо |
f (x) |
інтегровна на [a; b] |
( a < b ) і |
f (x) ≥ 0 , тоді |
|
|
b |
|
|
|
|
∫ f (x)dx ≥ 0 . |
|
|
|
|
a |
|
|
2. Якщо |
f (x) |
інтегровна на [a; b] ( a < b ) |
і m ≤ f (x) ≤ M , x [a; b] , |
|
тоді |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m(b − a) ≤ ∫ f (x)dx ≤ M (b − a) . |
||
|
|
a |
|
|
3. Якщо |
f (x) |
і g(x) інтегровні на [a; b] ( a < b ) і f (x) ≤ g(x) , тоді |
||
|
|
b |
b |
|
|
|
∫ f (x)dx ≤ ∫ g(x)dx . |
|
|
|
|
a |
a |
|
|
|
|
|
157 |
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
4. Якщо |
f (x) |
інтегровна на [a; b] |
( a < b ), тоді |
|||||||
|
|
|
b |
|
|
b |
||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
∫ f (x)dx |
|
≤ ∫ |
|
f (x) |
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
a |
|
|
a |
||||
5. Якщо |
f (x) |
інтегровна на [a; b] ( a < b ) і m ≤ f (x) ≤ M , x [a; b] , |
||||||||
тоді існує μ (a; b) таке, що |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
∫ f (x)dx = μ(b − a) . |
|||||||
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
||
Зокрема, якщо |
f (x) неперервна на [a; b] , то існує таке число c [a; b] , |
|||||||||
що виконується рівність |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
b |
|
|
|
|
|
|||
|
|
∫ f (x)dx = f (c)(b − a) , |
||||||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|||
число f (c) |
називають середнім значенням функції f (x) на відрізку [a; b] . |
a
6. ∫ f (x)dx = 0 .
a
ba
7.∫ f (x)dx = − ∫ f (x)dx .
ab
b |
|
b |
b |
|
8. ∫[f (x) ± g(x)]dx = ∫ f (x)dx ± ∫ g(x)dx . |
|
|||
a |
|
a |
a |
|
b |
b |
|
b |
b |
9. ∫ λ1 f (x)dx ± ∫ λ 2 g(x)dx = λ1 ∫ f (x)dx ± λ 2 ∫ g(x)dx .
a |
a |
|
a |
a |
10. За будь-якого розміщення точок a, b, c |
|
|||
|
b |
c |
b |
|
|
∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx , |
|||
|
a |
a |
c |
|
якщо f (x) інтегровна на кожному з проміжків.
|
a |
a |
11. а) |
∫ |
f (x)dx = 2∫ f (x)dx, якщо f (x) — парна функція; |
|
−a |
0 |
|
a |
|
б) |
∫ f (x)dx = 0 , якщо f (x) — непарна функція. |
−a
158
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
12. Якщо f (x) |
— інтегровна на [a, b] і x [a, b] , то |
||||
|
|
x |
|
|
|
а) |
Ф(x) = ∫ f (t)dt визначена і неперервна на [a, b] ; |
||||
|
|
a |
|
|
|
|
d |
|
|
d |
x |
б) |
Ф(x) = |
|
∫ f (t)dt = f (x) в кожній точці x неперервності фун- |
||
dx |
|
dx |
|||
|
|
|
a |
||
|
|
|
|
|
кції f (x) .
6.3.Обчислення визначених інтегралів
6.3.1.Формула Ньютона—Лейбніца
Правило обчислення визначеного інтеграла встановлює теорема Нью-
тона—Лейбніца.
Нехай F(x) — деяка з первісних функцій для f (x) на [a, b] , тоді
b
∫ f (x)dx = F(b) − F(a) .
a
Цей факт записують так:
b |
|
b |
|
|
|
||
∫ f (x)dx = F(x) |
|
= F(b) − F(a). |
|
a |
|
a |
|
|
|
|
Останню формулу називають формулою Ньютона—Лейбніца, або основною формулою інтегрального числення.
При обчисленні визначених інтегралів, як і невизначених, використо-
вують методи безпосереднього інтегрування, заміни змінної та інтегрування частинами.
6.3.2. Заміна змінної у визначеному інтегралі
Якщо функція x = ϕ(t) задовольняє умови:
1) однозначна та неперервна на проміжку [α; β] і має на цьому проміжку неперервну похідну ϕ′(t) ;
2) значення функції x = ϕ(t) при зміні t на відрізку [α; β] не виходять за межі відрізка [a; b] ;
159
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
3) ϕ(α) = a , ϕ(β) = b , тоді для будь-якої неперервної на відрізку [a; b] функції f (x) справджується формула заміни змінної у визначеному інтегралі
b |
|
β |
||
∫ f (x)dx = ∫ f (ϕ(t))ϕ′(t)dt . |
||||
a |
|
α |
||
|
|
|
. В |
|
Часто замість заміни |
x = ϕ(t) |
застосовують підстановку |
t = ψ(x) |
цьому випадку межі α та β визначаються безпосередньо за формулами
α = ψ(a) , β = ψ(b) .
6.3.3. Формула інтегрування частинами
Якщо u та v — функції від x , що мають неперервні похідні, тоді
b |
|
|
|
b |
b |
||
|
|
|
|||||
∫u(x)v′(x)dx = u(x)v(x) |
−∫ v(x)u′(x)dx , |
||||||
a |
|
|
|
a |
a |
||
|
|
|
|
||||
або |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
b |
|
b |
|
|
|
|
|
|
||||
|
∫udv = uv |
|
a |
−∫vdu. |
|
||
|
a |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т.6 ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ТИПОВИХ ЗАДАЧ
Обчисліть визначені інтеграли, використовуючи безпосереднє інтегрування.
11
1.∫ 3 1− xdx = − ∫ 3 1− xd(1−
00
e |
ln x |
− 1 |
e |
ln x |
|
e |
|
2. ∫ |
dx = ∫ |
dx − |
∫ |
||||
x |
|
|
|||||
1 |
1 |
x |
1 |
||||
|
|
|
x) = − |
3 3 |
(1− x)4 1 |
= − |
|
3 |
|
(0 − 1) = |
3 |
. |
|
|
||||||||||
4 |
4 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
dx |
|
e |
|
e |
|
dx |
|
|
|
|
ln |
2 |
x |
|
e |
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
= |
∫ ln xd ln x − ∫ |
|
= |
|
|
|
− ln x |
= |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||||||||||
x |
|
1 |
|
1 |
|
x |
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
1 |
− 0 − (1 |
− 0) = − |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
π |
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3 |
|
|
1+ tg2 x |
3 |
|
|
1 |
|
|
dx |
|
3 |
|
1 |
|
|
||||||||
3. ∫ |
|
|
|
|
|
dx = ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫ |
|
|
d(1+ tg x) = |
||||||
(1+ tg x) |
2 |
|
|
(1+ tg x) |
2 |
|
cos |
2 |
x |
(1+ tg x) |
2 |
|||||||||||||
|
π |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|||||||||
4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
160
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/