Vischa_matematika_Chastina_2_Denisyuk_Repeta

3.5.Розв’язувати неоднорідні диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами і спеціальною правою частиною.

3.6.Розв’язувати лінійні системи диференціальних рівнянь другого порядку зі сталими коефіцієнтами.

3.7.Розв’язувати задачу Коші для диференціальних рівнянь або систем на основі загального розв’язку.

3.8.Складати диференціальні рівняння за умовами фізичної або геометричної задачі у найпростіших випадках.

Тема 1. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ

ПЕРШОГО ПОРЯДКУ

Основні поняття та означення. Диференціальні рівняння з відокремленими і відокремлюваними змінними. Однорідні рівняння. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку. Рівняння Бернуллі. Диференціальні рівняння у повних диференціалах. Деякізастосуваннядиференціальних рівнянь першого порядку.

Література: [2, розділ 3, п. 3.1], [4, розділ 8, § 25], [6, розділ 11, п. 11.1], [8, розділ 13, § 1—9], [10, § 1—2].

Т.1 ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

1.1. Основні поняття

Диференціальним рівнянням називають співвідношення, яке містить невідому функцію, її похідні (або диференціали) та незалежні змінні. Якщо шукана функція є функцією лише однієї незалежної змінної, то диференціальне рівняння називають звичайним; якщо ж незалежних змінних дві або більше, то — рівнянням з частинними похідними. Надалі будемо розглядати звичайні диференціальні рівняння.

Порядком диференціального рівняння називають порядок найвищої похідної невідомої функції, що входить у рівняння. Так, рівняння y′′ + xy′ +

+ 2y4 = 0 має другий порядок.

Диференціальнимрівняннямпершогопорядку називаютьрівняннявигляду

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

яке зв’язує незалежну змінну х, невідому функцію y = y(x) та її похідну y′ . Рівняння (3.1) не розв’язане відносно похідної.

Рівняння вигляду

називають диференціальним рівнянням першого порядку, розв’язаним відносно похідної, або рівнянням у нормальній формі.

Рівняння (3.2) можна записати ще й так:

dydx = f (x, y) , f (x, y)dx − dy = 0 .

Часто використовують симетричну форму запису диференціального рівняння першого порядку:

M (x, y)dx + N(x, y)dy = 0,

де M (x, y), N(x, y) — відомі функції змінних x і y .

Розв’язком диференціального рівняння (3.1) або (3.2) на деякому інтервалі (a, b) називають диференційовну на цьому інтервалі функцію

y = ϕ(x), яка при підстановці у рівняння обертає його у тотожність, тобто

F(x, ϕ(x), ϕ′(x)) ≡ 0 або ϕ′(x) ≡ f (x, ϕ(x)) , x (a, b) .

Процес відшукання розв’язку диференціального рівняння називають інтегруванням диференціального рівняння.

Співвідношення Ф(x, y) = 0 називають інтегралом рівняння (3.1) або (3.2), якщо воно неявно задає розв’язок y = ϕ(x) цього рівняння.

Графік розв’язку y = ϕ(x) називають інтегральною кривою диферен-

(x0 , y0 ) G проходить єдина інтегральна крива.

202

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

Задачу відшукання розв’язку y = ϕ(x) рівняння (3.2), який задоволь-

няє початкову умову

y(x0 ) = y0 ,

називають задачею Коші. З погляду геометрії розв’язати задачу Коші — означає виділити з множини інтегральних кривих ту, яка проходить через задану точку (x0 , y0 ) .

Загальним розв’язком рівняння першого порядку називають функцію, y = ϕ(x,C) , яка залежить від довільної сталої С, і таку, що:

1)при довільному С вона є розв’язком даного рівняння;

2)для довільної початкової умови y(x0 ) = y0 існує єдине значення

C = C0 , при якому розв’язок y = ϕ(x, C0 ) задовольняє задану початкову умову.

Якщо загальний розв’язок диференціального рівняння знайдено в неявному вигляді Ф(x, y,C) = 0, то такий розв’язок називають загальним інтег-

ралом диференціального рівняння першого порядку.

Розв’язок, який утворюється із загального розв’язку при фіксованій сталій C , називають частинним.

Розв’язок диференціального рівняння, в кожній точці якого порушується умова єдиності, називають особливим розв’язком.

Особливий розв’язок неможливо визначити із загального при жодному значенні сталої C .

1.2.Диференціальні рівняння з відокремленими

івідокремлюваними змінними

Рівняння вигляду

M (x)dx + N ( y)dy = 0

називають диференціальним рівнянням з відокремленими змінними. Загальний інтеграл такого рівняння має вигляд

∫ M (x)dx + ∫ N ( y)dy = C .

Диференціальне рівняння

M1 (x)N1 ( y)dx + M 2 (x)N 2 ( y)dy = 0

називають рівнянням з відокремлюваними змінними. Поділивши це рівняння надобуток N1 ( y)M 2 (x) ≠ 0 , дістанемо рівняннязвідокремленими змінними

203

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

Зауваження. При діленні рівняння на N1 ( y)M2 (x), можна втратити деякі розв’язки, які знаходяться з рівняння

Тому слід перевірити, чи буде розв’язок рівняння (3.3) розв’язком вихідного диференціального рівняння.

Диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними записують ще в такому вигляді

Диференціальне рівняння y′ = f (x, y) називають однорідним, якщо функція f (x, y) є однорідною функцією нульового виміру.

Диференціальне рівняння

M (x, y)dx + N(x, y)dy = 0

є однорідним, якщо M (x, y) і N(x, y) – однорідні функції одного й того

ж виміру.

Однорідне диференціальне рівняння завжди можна подати у вигляді

204

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

Заміною y = xu(x) , де u(x) — невідома функція, однорідне рівняння зводиться до рівняння з відокремлюваними змінними.

Рівняння вигляду

кою z = a1 x + b1 y + c1 рівняння (3.4) зводиться до рівняння з відокремлюваними змінними.

1.4. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку. Рівняння Бернуллі

Рівняння вигляду

називають лінійним диференціальним рівнянням першого порядку. Якщо

Q(x) ≠ 0, то рівняння називають лінійним неоднорідним; якщо Q(x) = 0, то рівняння (3.5) набуває вигляду

і називається лінійним однорідним диференціальним рівнянням першого порядку.

Термін «лінійне рівняння» пояснюється тим, що невідома функція y(x) і її похідна y′ входять до рівняння у першому степені, тобто лінійно.

Рівняння (3.6) одночасно є рівнянням з відокремлюваними змінними. Знайдемо його розв’язок:

dydx = − P(x) y ; dyy = − P(x)dx ; ∫ dyy = −∫ P(x)dx ; ln y = −∫ P(x)dx + ln C ,

205

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

звідси

y = Ce− ∫ P(x)dx .

Для розв’язування неоднорідних лінійних диференціальних рівнянь застосовують метод Бернуллі або метод варіації довільної сталої.

Метод Бернуллі. Розв’язок нелінійного рівняння (3.5) шукають у вигляді добутку двох невідомих функцій u(x) і v(x) , тобто

Підберемо функцію u(x) так, щоб вираз у дужках дорівнював нулю. Тоді рівняння (3.5) буде рівносильне системі рівнянь

Перше рівняння цієї системи — лінійне однорідне диференціальне рівняння першого порядку. Його частинний розв’язок такий:

u(x) = e− ∫ P(x)dx .

Після цього друге рівняння системи (3.7) набуває вигляду:

206

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

Перший доданок у правій частині формули (3.8) є загальним розв’язком відповідного однорідного рівняння (3.6), а другий доданок — частинним розв’язком неоднорідного рівняння (3.5).

Метод варіації довільної сталої (метод Лагранжа). Розв’язок рівнян-

ня (3.5) шукають у вигляді

При фіксованому значенні C цією формулою задається розв’язок лінійного однорідного рівняння (3.6). Підставивши (3.9) у (3.5), дістанемо рі-

вняння C′(x) = Q(x)e∫ P(x)dx . Звідси

C(x) = ∫ Q(x)e∫ P(x)dx dx +C1 ,

де C1 — довільна стала. Тоді загальний розв’язок рівняння (3.5) задається формулою

яка збігається із формулою (3.8).

Зауваження. Деякі рівняння будуть лінійними, якщо за невідому функцію розглянути змінну х, а за незалежну — змінну y, тобто рі-

вняння вигляду x′ + P( y)x = Q( y) .

Рівняння Бернуллі має вигляд

y′ + P(x) y = Q(x) y k ,

де k — дійсне число (k ≠ 0; 1 ). При k = 0 і k = 1 дане рівняння є лінійним.

Заміною z = y1−k рівняння Бернуллі зводиться до лінійного рівняння.

Або ж шукають його розв’язок у вигляді y = u(x)v(x).

1.5. Диференціальні рівняння у повних диференціалах

Диференціальне рівняння

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

у якому ліва частина є повним диференціалом деякої функції u(x, y) , тобто du ≡ ∂∂ux dx + ∂∂uy dy = M (x, y)dx + N (x, y)dy,

називають рівнянням у повних диференціалах. У цьому випадку загальний інтеграл рівняння (3.10) має вигляд

u(x, y) = C.

Для того, щоб рівняння (3.10) було рівнянням у повних диференціалах, необхідно і достатньо, щоб виконувалася умова

Якщо умова (3.11) не виконується, то у деяких випадках можна звести рівняння (3.10) до рівняння у повних диференціалах шляхом домноження

його на так званий інтегрувальний множник μ(x, y) . Для існування інтег-

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

1.6. Деякі застосування диференціальних рівнянь першого порядку

Диференціальні рівняння є математичними моделями багатьох фізичних, хімічних, біологічних та інших процесів. Вони складаються на основі законів, притаманних природі досліджуваних явищ, з урахуванням фізичного змісту похідної як швидкості зміни функції. У механіці це можуть бути закони Ньютона, в електротехніці — закони Кірхгофа, в теорії швидкостей хімічних реакцій — закон дії мас і т. п. Моделюючи геометричні задачі, використовують геометричний зміст похідної як кутовий коефіцієнт дотичної. Крім того, часто застосовують метод диференціалів, за яким нескінченно малий приріст шуканої величини замінюють наближено її диференціалом. Діставши диференціальне рівняння, шукають його загальний розв’язок. Якщо відомі початкові умови, то знаходять частинний розв’язок задачі. У міру необхідності визначають допоміжні параметри, використовуючи при цьому додаткові умови задачі. У результаті дістають аналітичний вираз загального закону досліджуваного явища, за яким можна виконати якісний аналіз, визначити необхідні числові значення величини тощо.

Т.1 ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ТИПОВИХ ЗАДАЧ

1. Розв’яжіть рівняння

1 − x2

кову умову y(0) = e .

209

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

Розв’язання. Відокремимо змінні і проінтегруємо дане рівняння:

Враховуючи початкову умову, знаходимо сталу С: ln e = arcsin 0 + C C = 1 .

Отже, ln y = arcsin x + 1 — частинний інтеграл даного рівняння, що задовольняє початкову умову.

3. Знайдіть загальний інтеграл рівняння y ′ = x(1+ y2 ) .

Розв’язання. Дане рівняння є рівнянням з відокремлюваними змінними. Виконаємо такі дії:

загальний інтеграл даного рівняння. 4. Розв’яжіть рівняння

Розв’язання. Права частина рівняння є однорідною функцією нульового

x

вняння: y = x ln Cy .

210

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/