Vischa_matematika_Chastina_2_Denisyuk_Repeta

a ±bi , то у розкладі

многочлена на множники (див. (*)) добуток

(x−(a +bi))(x−(a−bi))

можна замінити квадратним тричленом x2 + px +q

коефіцієнтами.

Довільний многочлен з дійсними коефіцієнтами можна

Теорема 8

податиувигляді добутку лінійних і квадратичних множників

з дійсними коефіцієнтами, тобто

P (x) = a (x − x )k1 ... (x − x )kr (x

2 + p x + q )s1

... (x2 + p

x + q )sm .

n

0

1

r

1

1

m

m

При цьому

k

+ k

+ ... + k

+ 2(s

+ s

+ ... + s

) = n ,

____

2

r

m

D = p2 − 4q < 0, i = 1, m.

1

1

2

i

i

i

менший за степінь знаменника, тобто n < m ;

якщо n ≥ m , то раціональний

дріб називають неправильним.

Pn (x)

Довільний неправильний дріб

можна подати у вигляді суми

Qm (x)

многочлена і правильного раціонального дробу:

Pn (x)

= Pn−m (x) +

Pk (x)

,

k < m .

Qm (x)

Qm

(x)

І.

A

; ІІ.

A

;

ІІІ.

Mx + N

; ІV.

Mx + N

,

x − a

(x − a)n

x

(x 2 + px + q)n

2 + px + q

де a, p, q, A, M , N

— дійсні

числа, n = 2, 3, …, D = p 2 − 4q < 0 ,

тобто

квадратний тричлен x 2 + px + q не має дійсних коренів.

Структура розкладу правильного раціонального дробу

Pn (x)

у суму

Qm (x)

елементарних дробів визначається таким правилом.

Pn (x)

Якщо знаменник Qm (x)

правильного раціонального дробу

роз-

P (x)

A

A

B

Bβ

n

=

1

+ …+

α

+

1

+ …+

+

Qm (x)

x − a

(x

− a)α

x − b

(x

− b)β

+

M1 x + N1

+ … +

Mμ x + Nμ

+…

+

L1 x + S1

+ … +

Lν x + Sν

,

x 2 + px + q

(x2 + px + q)μ

x 2 + lx + s

(x 2 + lx + s)ν

де A1 , …, Aα , B1 , …, Bβ ,

M1 , N1 …, M μ , Nμ , L1 , S1 …, Lν , Sν — деякі дій-

сні сталі, що підлягають визначенню.

Іншими словами, структура розкладу правильного раціонального

дробу

Pn (x)

у суму елементарних дробів визначається коренями зна-

Qm (x)

менника Qm (x) , а саме:

1) простому дійсному кореню x = a ,

тобто лінійному множнику

x − a , відповідає дріб

A

;

x

− a

102

2)

дійсному кореню x = b кратності

m , тобто множнику

(x − b)m ,

відповідає сума дробів

B1

B2

Bm

;

+

+ +

x − b

(x − b) 2

(x − b) m

3)

парі комплексно спряжених коренів α ± βi

кратності один, тобто

множнику x 2 + px + q , де

p = −2 α ,

q = α2 + β2 ,

p2 − 4q < 0, відповідає

дріб

Mx + N

;

x 2 + px + q

α ± βi кратності

k , тобто

4)

парі комплексно спряжених коренів

множнику (x 2 + px + q) k відповідає сума дробів

M1 x + N1

+

M 2 x + N 2

+ +

M k x + N k

.

x 2 + px + q (x 2 + px + q) 2

(x 2 + px + q)k

а) P (x) = 3x2

+ x −14 ; б) P (x) = x3

+ 2x2

− x − 2;

2

3

в) P (x) = x4

− x3 − 6x2 + 14x − 12 .

4

Якщо многочлен

Pn (x)

із цілими коефіцієнтами має цілі корені, то

вони є серед дільників вільного члена an .

Дільники вільного члена : ±1; ± 2; ± 3; ± 6; ± 12 . Оскільки

P4 (2) = 16 − 8 − 24 + 28 − 12 = 0 ,

то P4 (x) = (x − 2)Q3 (x) .

на x − 2 :

Виконаємо ділення P4 (x)

x

4

− x

3

− 6x

2

+ 14 x − 12

x −2

x4 − 2 x3

x3 + x 2− 4 x + 6

x3 − 6 x2

x3 − 2 x2

−4 x2 + 14 x

−4 x2 + 8 x

6x−12

6x − 12

0 .

Отже,

P (x) = (x − 2)(x3 + x 2

− 4x + 6) .

4

Число x = −3 — корінь многочлена Q (x) = x3 + x2 − 4x + 6 , бо Q (−3) =

3

3

2. Розкладіть дріб

x4

+ 2x2

− 3x + 2

у суму многочлена і правильного

x2

+ 4

Тоді

x4 + 2x2 − 3x + 2

=

x2

(x2

+ 4) − 2(x2 + 4) − (3x − 10)

= x

2

− 2 −

3x

−10

.

x2 + 4

x2 + 4

x2

+ 4

3x 2 − 21x

=

3x 2 − 21x

=

A

+

B

+

C

,

x3

−

3x 2 − 6x + 8

(x + 2)(x − 1)(x − 4)

x +

2

x − 1

x −

4

звідси

3x2 − 21x

=

A(x − 1)(x − 4) + B(x +

2)(x − 4)

+ C(x + 2)(x − 1)

.

(x + 2)(x − 1)(x − 4)

(x + 2)(x − 1)(x −

4)

3x 2 − 21x

=

3

+

2

−

2

.

(x + 2)(x − 1)(x − 4)

x + 2

x − 1

x − 4

x 4 − 3x 2 − 3x − 2

=

x(x3

− x2 − 2x) + x3 − x2 − 3x − 2

=

x3

− x 2 − 2x

x3 − x2 − 2x

=

x(x3

− x2

− 2x) + (x3 − x2 − 2x) − x − 2

= x + 1−

x + 2

.

x3 − x2 − 2x

x3 − x 2

− 2x

Тепер записуємо розклад правильного дробу

x + 2

на елемента-

x3 − x 2 − 2x

рні дроби:

x + 2

=

A

+

B

+

C

=

A(x − 2)(x + 1) + Bx(x + 1) + Cx(x − 2)

.

x(x − 2)(x + 1)

x

x −

2

x + 1

x(x − 2)(x + 1)

Звідси

x + 2 = A(x − 2)(x + 1) + Bx(x + 1) + Cx(x − 2) .

Для визначення коефіцієнтів

A,

B, C застосуємо метод окремих зна-

доданків. Так, при x = 0 дістанемо 2 = −2A , тобто

A = −1 ; якщо x = 2 , то

4 = 6B , B = 2 / 3 , і, нарешті, якщо x = −1 , то 1 = 3C , C = 1/ 3

. Тоді

x + 2

=

−1

+

2

+

1

.

x(x − 2)(x + 1)

x

3(x − 2)

3(x + 1)

Остаточно дістанемо

x 4 −

3x 2 − 3x − 2

= x

+1+

1

−

2

−

1

.

x3

− x 2 − 2x

x

3(x −2)

3(x +1)

дріб

x2 + 2

.

(x − 1)(x + 1)2

Розв’язання. Знаменник (x − 1)(x + 1)2

має простий дійсний корінь x = 1

і дійсний корінь x = −1 кратності два.

Отже, розклад на елементарні дроби має вигляд

x 2 + 2

=

A

+

B

+

C

,

(x − 1)(x +

1)2

x − 1

x + 1

(x

+ 1)2

106

x 2 + 2 = A(x + 1)2 + B(x − 1)(x + 1) + C(x − 1) .

Послідовно покладаючи

x = 1 та

x = −1 , одержимо значення

A =

3

,

4

3

1

C = −

. Далі прирівняємо коефіцієнти при x 2 :

A + B = 1 , тоді B =

.

4

2

Отже,

x 2 + 2

3

1

3

=

+

−

.

(x − 1)(x + 1)2

4(x − 1)

4(x + 1)

2(x + 1)2

6. Розкладіть у суму елементарних

дробів

правильний раціональний

дріб

x2

.

(x + 1)(x3 + 1)

x 2

=

A

+

B

+

Cx + D

.

(x + 1)2 (x 2 − x + 1)

(x + 1)2

x + 1

x 2 − x + 1

Тоді

x 2 = A(x 2 − x + 1) + B(x 2 − x + 1)(x + 1) + (Cx + D)(x + 1)2 .

Підставивши у рівність значення кореня знаменника x = −1 , дістанемо

3A = 1 або A =

1

. Далі, розкривши у правій частині останньої рівності ду-

3

x3 , x2

та x0 , дістанемо систему для

жки і прирівнявши коефіцієнти при

визначення інших коефіцієнтів:

x3 : B + C = 0

x

2

:

A + 2C + D

=

1

x

0

:

A + B + D =

0.

Її розв’язок такий: A =

1

,

B = −

1

, C =

1

,

D = 0 .

3

3

3

Отже,

x 2

1

1

1

x

=

−

+

.

(x + 1)2 (x 2 − x + 1)

x2 − x + 1

3

(x + 1)2

x + 1

107

2.1.7. P (x) = x3 +3x2 +6x −10 .

2.1.8. P (x) = 2x3

−7x2 +8x −3 .

3

3

2.1.9. P (x) = 3x3

+4x2

−2x −5 .

2.1.10. P (x) = 2x3

+3x2 −6x −7 .

3

3

2.1.11. P (x) = x4

+3x2

−4 .

2.1.12. P (x) = x4

+2x2 −8 .

4

4

2.1.13. P (x) = x4

−2x3

−x2 +2x .

2.1.14. P (x) = 2x4

+7x2 −9 .

4

4

2.1.15. P (x) = x3

+6x2

+13x +10 .

2.1.16. P (x) = 5x4

−3x2 −8 .

3

4

2.1.17. P (x) = x4

−6x3 +11x2 −6x .

2.1.18. P (x) = 4x4

−4x2 +1 .

4

4

2.1.19. P (x) = 4x3 + x2

−3x −2 .

2.1.20. P (x) = 9x4

+6x2 +1 .

3

3

2.1.21. P (x) = x3

+ 3x2 − 2x − 8 .

2.1.22. P (x) = x3 −x2 −4x −6 .

3

3

2.1.23. P (x) = x3

+2x2

+5x +24 .

2.1.24. P (x) = 2x3

+ x2 −3x +6 .

3

3

2.1.25. P (x) =−x3 −7x2 +6x +2 .

2.1.26. P (x) = 2x4

+3x2 −5 .

3

4

2.1.27. P (x) = 3x3 + x2

−9x −10 .

2.1.28. P (x) = 4x4

−20x2 +25 .

3

4

2.1.29. P (x) =−x3 −x2

+11x +3 .

2.1.30. P (x) = 9x4

+ 12x2 + 4 .

3

4

І.

A

; ІІ.

A

; ІІІ.

Mx + N

; ІV.

Mx + N

,

x − a

(x − a)n

(x 2 + px + q)n

x 2 + px + q

де a, p, q, A, M , N — дійсні числа, n = 2,

3, …,

D = p 2 − 4q < 0 , тобто

квадратний тричлен x 2 + px + q не має дійсних коренів.

Розглянемо інтеграли від елементарних дробів:

І. ∫

A

dx =

A∫

d (x − a)

= A ln

x − a

+ C .